CERCLES TANGENTS AUX TROIS COTÉS 1)’UN TRIANGLE

49. Soient {fig* 26) I, Ia, 1/ „ \c les centres du cercle inscrit et des cercles exinscrits au triangle fondamental ABC. Les points de contact de ces cercles avec les côtés BC, CA, AB sont désignés par les lettres

0> P, Y), («1, Pi, Yl)> («2» Pï> Ï2)> 03, Psi Ta)*

On sait que ABC est le triangle orthique de chacun des quatre triangles IaI/,Ic, I LU, I<AIa, UI«I. Cette remarque conduit à quelques théorèmes qu’il suffit d’énoncer.

i° Les droites ï/,p2, 1^73, concourent au centre Y du cercle

Ia \b Ici les droites la, 1( (33, J/; y2 se coupent au centre Ya du cercle I RL,, etc. Les deux quadrangles Y Y a Y 0 Y c, II ahh sont symétriques par rapport au point 0 ; les côtés du premier sont perpendiculaires aux milieux des côtés opposés du second.

2° Les droites qui joignent Ia, I/,, [c aux milieux A', B', C' des côtés de ABC concourent au centre des symédicuies du triangle \a\(j\c ; les droites A'I, B'IC, C' I/; sont les symédianes du triangle 1ICI etc.

50. Les droites A a, Bp, C q concourent en un point Y ayant pour coordonnées barycentriques

— a -h b c a — b H- c cl H- b — c

Les droites Aat, Bpl5 Cyi concourent en un point Fa dont les coordonnées barycentriques sont

a — j— b — c — a — b h- c 5 — ci -Y b — c

Ces propositions se déduisent immédiatement des valeurs des segments B a, Ca, . . . .

Le point T est appelé quelquefois point de Gergonne du triangle ABC ; Ta, Tb, rc sont les adjoints de T.

51. Les droites Aat, B(32, Cy3 concourent en un meme point v, réciproque du point F et anticomplémentaire de I.

GÉOMÉTRIE DU TRIANGLE. 46q

Les droites A a, B|33, Cy2 concourent en un meme point va, réciproque de Y a et anticomplémentaire cle Ja, etc.

Les points a et a1} [3 et (32, y et y3 étant isotomiques (N., 7), les droites Aoq, Bf32, Cy3 concourent en un point v, réciproque de 1\ Les coordonnées barycentriques de v sont égales à — a-t-b-hc, a — b-\-c, a-\-b — c.

Ces expressions montrent que v est l’anticomplémentaire du point IT dont les coordonnées sont a , b , c. Pour établir directement cette pro-

priété, désignons par a' la seconde extrémité du diamètre al du cercle I. A étant un centre de similitude des cercles I, I«, la droite a! a', qui joint les extrémités de deux rayons parallèles, passe par A; par conséquent, la droite A'I joignant les milieux de a a! et a a' est parallèle à Aaj, B'I et C'I sont parallèles à B^, Cy3, et les points I, v sont des points complémentaires (N., 9).

Les autres parties de la proposition peuvent être établies par un procédé analogue.

v est appelé quelquefois le point clc Nagel de ABC ; va, v*, vc sont les adjoints de v.