SUR LES FIGURES SEMBLABLEMENT VARIABLES
52. Une figure est dite semblablement variable lorsqu’elle se modifie d’une manière continue en restant semblable à une figure fixe.
THÉORÈME
Lorsque trois droites oq, /q, tq d'une figure semblablement variable cpx passent par trois points fixes A, B, C, il existe un point D de cette figure cpd reste fixe. Tous les points de la figure décrivent des circonférences passant par D ; une droite quelconque passe par un. point fixe { fi g. 27).
Fig. 27.
Chaque position de ©1 est déterminée par les positions de trois de ses
(’) J. Neuberg, Proceedings of the London Mathematical Society, 1 885 .
GÉOMÉTRIE DU TRIANGLE
droites, pourvu que celles-ci no soient pas concourantes. Soit Ai Bi Ci le triangle formé par au &i, cx ; comme il est toujours semblable à lui-même, ses côtés tournent autour de A, B, C, dans un même sens, de quantités égales, et ses sommets parcourent trois circonférences 0«, 0b, Oc, passant par deux des points A, B, C et se coupant en un même point D, métapôle du triangle ABC par rapport au triangle A1B1C1. Les angles DB1C1, DC1B1 étant constants, D est son propre homologue dans toutes les positions de 91 : c’est un centre permanent de similitude.
Les perpendiculaires menées en A, B, C sur DA, DB, DC forment un triangle A0B0Co, que nous pouvons considérer comme étant la position initiale de A1B1C1. Soient O^N, OcP des perpendiculaires, et OcQ une parallèle à B^ ; comme BjCi = 2NP = aQOc, B0Co=2 0aO£., QOc< 060c, les dimensions les plus grandes de la figure variable correspondent à la position initiale o0. Le rapport de similitude de et cp0 a pour expression OcQ; OcO/, = cosa, a désignant l’angle C0ACi.
Soient M0, Mi deux points homologues de cp0, 91. Les triangles DM0B0, DM1B1 étant semblables, les triangles DM0Mt, DB0B! le sont également, et le lieu de Mj est la circonférence Om qui a pour diamètre DM0.
Soit Mi AI une droite quelconque de 9!. Un point Mi de cette ligne décrit une circonférence Q,n et l’angle DAIt AI est constant; par suite, la droite passe par un point fixe AI de la circonférence 0,n. Ce point est la projection du centre permanent D sur la position initiale AI0 AI de la droite.
SCOLIE
53. i° Les droites oq, <q, à un certain moment, coïncident avec AD, BD, CD; dans cette position, tous les points de la figure variable sont confondus en D, et toutes les droites passent par D.
La figure passe deux fois par les mêmes états de grandeur : elle a les mêmes dimensions lorsque ai prend deux positions symétriques par rapport à B0C0.
20 Le centre permanent D est, dans le triangle variable AiBiCj, l’inverse du métapôle ou le centre métaharmonique de ce triangle par rapport au triangle ABC. Ce rôle de D s’aperçoit immédiatement dans le triangle A0B0C0, dont ABC est le triangle podaire par rapport à D.
3° Considérons une seconde figure 9* qui varie en restant symétriquement semblable à la figure 91, avec la condition que les homologues des droites a 1, bu ct passent aussi par les points A, B, C. Le centre permanent de similitude de 9^ est le jumeau D' de D(N.,17), dans le triangle ABC. Il existe entre les triangles antipodaires de ABC par rapport aux deux points D, D' cette relation assez curieuse que nous ne faisons qu’énoncer ici : La différence des valeurs absolues de leurs aires est égalé à quatre fois l'aire ABC.
ISOTE III.
54. Les cas où les droites aA, bx, c 1, dans une position particulière, coïncident, soit avec AB, BG, CA, soit avec CA, AB, BC, présentent un grand intérêt.
i° Dans le premier cas {Jïg. 28), les droites au bu cx font avec AB, BC, CA un même angle X. Nous désignons maintenant par Ai, Bl5 Ci les points d’intersection des droites cx et ax] nx et b 1, b\ et <?i, do sorte que le triangle Ai B] Ci est semblable à ABC; ces points se meuvent sur les circonférences adjointes (CA), (AB), (BC), dont les centres sont représentés par a, (3, y. Le centre permanent de similitude est le point 12 de Brocard, tel que O AB = 12 BC = 12 CA = Y.
Fig. 28.
Soient O le centre du cercle ABC ; A0B0C0 le triangle antipodaire de il par rapport à ABC. Les angles a O (3, [3 O y, yOa étant les suppléments des angles de ABC, O est le point direct de Brocard du triangle a3y, et son homologue dans le triangle A0B0C0 s’obtient en prenant sur 12 0 une Ion-
GÉOMÉTRIE DU TRIANGLE
gueur QQfl = 2 il O. Il résulte de là que les points directs de Brocard des triangles A i B ( C , ont pour lieu géométrique la circonférence décrite de O comme centre avec le rayon O Q. .
Appelons A2B2C2 le triangle formé par les droites Aa, B (3, C q ; c’est une position particulière de A1B1C1. Les distances de O aux côtés du triangle A2B2C2 sont égales à C'A, A'B, B'C; elles sont donc proportionnelles à ces côtés, et O est le centre des syme'dianes de A2B2C2. On déduit, de cette propriété, que le centre des syme'dianes du triangle 5A1B1C1 parcourt le cercle (OK) du triangle ABC.
Le rapport de similitude des triangles A1B1C1, ABC est égal à celui des lignes homologues ü Ai, £2A; il a donc pour expression
sin(Y -+- X) : sinV.
11 se réduit à coséc V ou cot Y, lorsqu’on compare A0B0Co ou A2B2C2 à ABC.
20 Lorsque les droites a l5 ct font avec AC, BA, CB un même angle X, elles forment ( f/g. 29) un triangle A^B^Ci semblable à ABC
Fig. 29.
et dont les sommets décrivent les circonférences adjointes (BA), (CB),
(AC). Soient a', fl', y' les centres de ces cercles; O est le point rétrograde de Brocard du triangle a' (A y’. Le centre permanent de similitude des triangles A\ B) C) est le point direct de Brocard de chacun d’eux ; leur point rétrograde de Brocard décrit la circonférence qui a pour centre 0 et pour rayon Oû.
Deux triangles A1B1C1, A) B) C) {fi g- 28 et 29), qui correspondent à la meme valeur de X, sont égaux , et ont pour point double le centre 0 du cercle ABC.
En effet, les côtés homologues se coupent sur les médiatrices OA', OB', OC' de ABC et font un angle constant 2 X; par conséquent, une rotation autour de O amène l’un des triangles sur l’autre.
00. Le cas {fig. 3o) où trois droites ai, b 1, cy d’une figure semblablement variable tournent autour de trois points A, B, C situés en
Fig. 3o.
ligne droite se traite de la même manière que le cas général. Les points Ai, Bl5 Ci se meuvent sur trois circonférences Oa, 0&, Oc passant par le point D, d’où l’on voit les longueurs AB, BC, CA sous des angles égaux à ceux du triangle A1B1C1 ou à leurs suppléments; ce point est un métapôle du triangle aplati ABC et du triangle A1B1C1. Les triangles DA1B1, DB1C1, DC1A1 sont équiangles à DBA, DCB, DAC;
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donc le point D est fixe dans le plan A1B1C1, et la circonférence A1B1C1 passe constamment par D. De plus, la droite ABC peut être placée de telle façon que les points A et Ai, BetBi, C et Ci se correspondent dans une transformation par rayons vecteurs réciproques, effectuée du pôle D ; par suite, D est un centre métaharmonique des triangles A1B1C1, ABC.
Le triangle A1B1C1 devient maximum quand ses côtés sont perpendiculaires à DA, DB, DC. Tout point de la figure variable décrit une circonférence passant par D. En particulier, le centre du cercle A1B1C1 se meut sur la circonférence OaO/,Oc; car, si la tangente menée en A au cercle Oc rencontre le cercle 0/; en (3, le triangle C (3 A est une position particulière de Ai IL Ct et le point O se trouve en 0^, etc.
THÉORÈME
56. Si trois points Ai, Bi, Ci d’une figure semblablement variable ©1 parcourent les côtés BC, CA, AB cl’un triangle donné ABC, il existe un point F de cette figure qui reste fixe. Tout autre point décrit une droite ( fig . 3i).
Fig. 3 1.
Les circonférences AB1C1, B Ci Ai, CA1B1 se coupent en un même
point F, métapôle des triangles A1B1C1, ABC. Ce point est donc fixe dans le plan A1B1C1 ; il l’est également dans le plan ABC, car les angles FBC, FCB sont égaux à FC^, FBi Ai. F est donc un centre permanent de similitude de
Menons FA0, FB0, FC0 perpendiculaires sur BC, CA, AB. Le faisceau F(A0B0C0) peut être considéré comme étant la position initiale du faisceau F(AiBICi). Le minimum du triangle AiBjCi est le triangle podairc de F par rapport à ABC, et le rapport de similitude de cpt et o0 F Ai
est exprimé par = séc X, X désignant A0FAi. r Ao
Soient M0, Mi des points homologues de o05 ©1 ; les triangles FM0Ml5 FA0 étant semblables, le lieu géométrique de Mi est la perpendiculaire menée en M0 sur la droite FM0.
Scolie.
57. i° Si l’on fait tourner le faisceau F(A0B0C0) du même angle X dans un sens ou l’autre, ses rayons coupent les côtés de ABC aux sommets de deux triangles égaux. Donc la figure ©1, dans ses variations, passe deux fois par les mêmes états de grandeur.
20 On peut imaginer une seconde figure o\ qui varie en restant symétriquement semblable à cp1? avec la condition que les points homologues de Ai, Bi, Ci parcourent également les droites BC, CA, AB. Le centre permanent de similitude de cp't est le point /, tripolairement associé à F dans le triangle ABC. Nous laissons au lecteur le soin de démontrer que les inverses des aires des triangles podaires des points F, f ont une différence constante, égale à quatre fois l’inverse de l’aire ABC.
58. Soit F' l’inverse de F dans le triangle ABC, et soit A'0B'0C'0 le triangle podaire de F'. Les triangles A0B0Co, A'0 B'0 C'0 sont inscrits dans la même circonférence ayant pour centre le milieu P0 du segment FF' (fg. 3i).
Faisons tourner les deux faisceaux F(A0B0Co), F'(A'0B'0Co) autour de leurs centres d’un même angle X, mais dans des sens contraires. Leurs rayons rencontrent BC, CA, AB aux sommets de deux triangles A1B1C1, Aj B'j C'i, qui sont respectivement semblables à A0B0C0, A'0B'0 C'0. Soit Pi le centre de la circonférence Ai B! ;Ct les triangles FP0Pi etFA0Ai étant directement semblables, il en est de même des triangles F'P0 P 1 et F'A'0 A't . Il résulte de là que les deux triangles A1B1C1, A\ B 1 C't sont inscrits dans une même circonférence.
On peut donner deux autres modes de génération des groupes de six points, tels que AiBiCiA'j B* C'n situés sur le périmètre d’un triangle fixe ABC et appartenant à une môme circonférence. Soit abc le triangle
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formé par les droites B1C4, CiA'j, AiB'n et soit a'b'c' le triangle qui a pour côtés les droites B', Ci, C^Ai, A\ Bi. Les côtes des triangles abc , a'b'c' ont des directions invariables, et leurs sommets parcourent trois droites fixes AE, BE, CE. En effet: i° Le quadrilatère Bj A\ B't étant inscrit, l’angle ABiCj = Cj A\ B'j ; donc les côtés du triangle abc font avec CA, AB, BC des angles égaux aux angles A't, Bj, C\ du triangle Ai B'j C', , etc. 20 Les côtés du triangle Ci B'j a ont des directions fixes et deux sommets décrivent des droites; par suite, le point a se meut sur une droite passant par A. 3° Les côtés opposés de l’hexagone inscrit AiB^ Bi A\ Ci C', se coupent en trois points a, A, a' situés en ligne droite. 4° Enfin, les côtés opposés de l’hexagone inscrit Ai A\ BiBj Ci C', se coupant sur une même droite, les côtés de rang pair et ceux de rang impair forment deux triangles ABC, abc qui ont un centre d’homologie.
Cherchons les coordonnées normales x, r, s de E dans le triangle ABC. Le rapport y : 2 est égal à celui des perpendiculaires menées du point a sur AC et AB; d’où
y B J sin Ai Bt Bi aXî i siuAiCiBi z a Ci si 11 A j Ci C 1 rtCi sin Aj B^ Cj
Dans le triangle a Ci B', ,
«b; sin A't Cl b; sin A\ C\ Bj «Ci " sin Ai Bi Ci sinAiBiCi
On déduit, de ces égalités,
cosécAi cosécAj ~ cosécBi cosécBj cosécCi cosécCj *
59. Examinons encore le cas (fig. 3a) où trois points Ai, Bi, Ci d’une figure semblablement variable sont assujettis à se mouvoir sur trois
Fig. 32.
droites concourantes FA, FB, FC. Si l’on donne le point Ai sur FA et que la circonférence Ai Bi Ci rencontre les droites FA, FB, FC en a , ù, c,
NOTE III
on peut déterminer les points b , c par la condition que les angles Ai&B, AicF soient égaux à A1C1B1, A1B1C1, et, par suite, décrire la circonférence Ai bc. Cette construction montre que les côtés du triangle Ai Bi Ci se déplacent parallèlement à eux-mêmes, lorsque Ai se meut sur FA. F est donc un centre permanent d’homothétie.
Il peut arriver que la circonférence A1B1G1 passe par F. Alors toute circonférence passant par F rencontre FA, FB, FC en trois points qui sont les sommets d’un triangle de forme constante; et F n’est plus un centre permanent de similitude.
