SUR QUELQUES CERCLES REMARQUABLES
60. Les résultats des n°s 56, 57, 58 prennent une forme très simple, lorsque le triangle AiBjCi est directement semblable à BCA. Dans ce cas, F, F' sont les points de Brocard Q, O': le triangle A\ B* C\ est semblable à CBA; le centre de la circonférence A1B1C1 est situé sur la droite OK; les côtés du triangle abc sont parallèles à ceux de ABC; les côtés du triangle a' b’ c’ sont parallèles aux tangentes menées par A, B, C au cercle ABC; enfin, le centre d’homologie E des triangles ABC, abc , a b' c' coïncide avec K.
Nous allons établir ces propriétés par une seconde méthode, qui a l’avantage de s’adapter aux polygones dits harmoniques.
PROBLÈME
61. Etant donné un triangle ABC, on propose d’en construire un second abc qui soit homothétique à ABC, et tel que les six points de rencontre des côtés non homologues des deux triangles soient situés sur une meme circonférence ( fig . 33 ).
Soient a, a', (3, {3', y, y' ces points. Les points y, [3', (3, y' appartenant à une même circonférence, y f est une transversale antiparallèle de l’angle BAC. Mais la figure Aq af est un parallélogramme; donc la droite A a passe par le milieu de y(3' et, par suite, est une symédiane de ABC. On conclut de là que le centre d’homothétie des triangles ABC, abc est le centre des symédianes de chacun d’eux.
Cette condition est suffisante. En effet, soient m, n , p les centres des parallélogrammes Ay«(3', Ba&y', C(3ca', et soit 10 le centre du cercle mnp. Puisque les symédianes AK, BK, CK passent aux milieux des transversales (3' y, y' a, a' (3, celles-ci sont parallèles aux côtés du triangle KaK^Kc formé par les tangentes au cercle ABC. Les angles A y [3', By'a sont égaux comme étant égaux à ACB; d’où
yP'= ï'a-
Par conséquent, les triangles rectangles asm y, co/za, w/?(3 sont égaux, et (o est le centre d’un cercle passant par les six points a, a', (3, [3', y, y'.
GÉOMÉTRIE DU TRIANGLE. 479
Les triangles ABC, mnp étant homothétiques par rapport à K, o> est situé sur la droite O K.
ScOLIE.
62. i0LesdroitesY,3', uy', (3a'sontparallèlesauxcôtésdutriangleKaK/,K6 et divisent les droites KA, KB, IvC en parties proportionnelles; elles forment donc un triangle a // c\ homothétique à KaK/,Kc par rapport à I\.
Fig. 33.
2° De l’égalité des arcs (3'y, y' a, a' (3, on conclut aisément que les triangles ya(3, (3'yV sont égaux entre eux et semblables à ABC.
3° Soient 12, 12' les points do Brocard du triangle ABC. Si l’on fait tourner le faisceau 12(ABC) autour de 12 d’un angle quelconque, ses rayons
NOTE III
rencontrent AB, BC, CA aux sommets d’un triangle y<*P semblable à ABC ; car les triangles OAy, QBa, OCp sont directement semblables, d’où l’on conclut la similitude des triangles 12 AB et Oya, ÜBC et 12 ap, 12 CA et 12 Py* On voit que 12 et 12' sont les centres permanents de similitude des triangles variables y a [3 , P' y' a' de la fîg. 33.
4° Le lecteur trouvera facilement la démonstration des théorèmes suivants :
Soient [3' y, f cl, a' (3 trois arcs égaux, de meme sens, d'une circonférence. Les cordes \ 3' y, fa., a1 $ forment un triangle ab'c les cordes j aa', PP', qf, un second triangle ABC; les cordes Py', Ta\ «PS un troisième triangle abc. Ces trois triangles ont pour centre d’homologie j commun le centre des syme'dianes des triangles ABC, abc.
On i/iscrit à une circonférence a> un hexagone aafîfffi’ dont les \ côtés opposés sont parallèles. Le triangle formé par les côtés de rang j impair et celui qui est détermine' par les côtés de rang pair , ont memes sjme'dianes .
63. Si le triangle abc de la fîg. 33 se réduit au point K, on a le théorème suivant :
Les parallèles aux côtés cl’un triangle ABC, menées par le point K, coupent les côtés en six points a, a', (3, |3', y, f d’une meme circonférence ayant son centre au milieu de OK (fîg- 34).
Fig. 34-
Les angles Kccy, KyP, K (3a ont pour mesures les moitiés des arcs égaux (3'y> a' (3, fa. Donc K est le point direct de Brocard du tricmgle apY ; il est le point rétrograde de Brocard du triangle dff. Les
GÉOMÉTRIE DU TRIANGLE
cotés de ces triangles sont parallèles aux rayons des faisceaux il (ABC), Q'(ABC).
Les côtés homologues des triangles ABC, ya(3 et les rayons homologues des faisceaux Q(ABC), 12(ya[3) font entre eux l’angle Y; par suite, les triangles y A 12, a B 12 , (3 G 12 sont isocèles, et les points y, a, 3 sont à V intersection de AB, BC, CA avec les perpendiculaires menées caix milieux des rayons 12 A, 12 B, 12 C.
Le rapport de similitude des triangles ya(3, ABC a pour expression
12 y sin!2Ay __ sinV i
12 A sin!2yA sin i Y a cos Y
64. Le triangle a! b' c' de la fi g. 33 peut se réduire au point K; ce qui donne la proposition suivante : Les parallèles aux côtés du triangle ort bique cle ABC, menées par le point K, rencontrent les côtés des angles BAC, CBA, ACB en six points a, a', (3, (3', y, y' d’une circonférence ayant pour centre Le point K {fi g- 35).
Fig. 35.
Cette figure donne lieu à plusieurs remarques intéressantes.
R. et de C. — Tr. de Géom. ( Irc Partie.) ot
NOTE III
A un triangle donné ABC, on peut inscrire deux triangles a(3y, a' S'y' ayant leurs côtés perpendiculaires à ceux de ABC. Ces triangles sont inscrits dans une mémo circonférence ayant pour centre le point K.
Si un hexagone inscrit a(3'(3y'ya' a ses côtés opposés égaux et parallèles , le centre de la circonférence circonscrite est le centre des symédianes de chacun des triangles ABC, abc formés avec des côtés alternants de l’hexagone .
12 étant le centre de similitude des triangles ya(3, ABC, dont les côtés homologues sont perpendiculaires, les angles A12y, B 12a, C 12(3 sont droits ; donc le rapport de similitude de ces triangles a pour expression
rhï = tangV‘
THÉORÈME
Go. Soient IR, H2, H3 les pieds des hauteurs du triangle ABC ; a', //, é les milieux des droites IL H3, H3H1, H,H2; (3' et y les projections de Hi sur AC et AB, y' et a celles de H2 sur BA et BC, a' et (3 celles de H3 sur CB et CA.
Cela posé :
i° Les six points a, a', [3, (3', y, y' sont situés sur une meme circonférence T.
20 Les droites (3'y, y' a, a! (3 passent par deux des points a\ //, c et ont pour longueur commune le demi-périmètre du triangle HiII2II3.
3° Le centre du cercle T est le centre du cercle inscrit au triangle a' b' c'] il est situé au milieu de chacune des droites H , A /* , II 2 B/n H3C/* joignant les pieds des hauteurs de ABC aux orthocentres des triangles AH2H3, BH3H,, CIR 1I2 (fig- 36).
Nous rattachons cette proposition aux nos 61 et 62.
On sait que les droites A B b', C c' concourent au centre K des symédianes de ABC (N., 29). Par conséquent, le triangle a' b' c' est homothétique à K«K*KC par rapport à K, et ses côtés rencontrent ceux de ABC en six points a, a', (3, (3', y, y' d’une même circonférence, dont le centre T est situé sur la droite OK.
Le triangle c'(3'H2 est isocèle, car
angle A [3' y = AH,H3 - ABC = CH2 II,;
et l’angle II2(3TI, est droit. Ainsi, les points a, a', (3, (3', y, y' sont les pieds des hauteurs des triangles AII2H3, B II3 11 , , CH,H2.
Nous venons de trouver
GÉOMÉTRIE DU TRIANGLE
par analogie,
Donc la droite (3' y est égale au périmètre du triangle ci b' c' .
Les cordes égales (3' y, y' a, a' fi sont à égale distance du centre; donc T est le centre du cercle inscrit au triangle a'b'c.
Nous avons trois parallélogrammes A/JI3IIH2, B/tH3IIHj, C/*HiHII2; donc les côtés opposés de l’hexagone A/iH2C/tH1B/JI3 sont égaux et parallèles, et les diagonales A/JI^B/JL,, C/*H3 se coupent mutuellement en parties égales. La droite a! T, bissectrice de l’angle c' a! b\ est parallèle à H3Ba et passe par le milieu de H2H3; donc elle passe égalc-
Fig. 36.
ment par le milieu de H2B/,. O11 conclut de là que T est le milieu de chacune des droites A/JO, B/J12, CaII3.
G6. i° Les droites AA/j, BB/*, CC/4 étant perpendiculaires à H2H3, 113Hi, HtHs concourent au centre O du cercle ABC. Les triangles A/tB/*C/t, II 1 Il2 H3 sont symétriques par rapport à T; donc leurs côtés homologues sont égaux et parallèles, et O est aussi l’orthocentre de A/iB^C/*. Soit h l’orthocentre de 111 II2 1I3 ; ce point est le symétrique de O par rapport à T, donc il est situé sur la droite OK.
NOTE III
20 Les droites (ây', 7a', a(3' forment un triangle abc homothétique à ABC par rapport à K (N., 62), propriété qu’on peut démontrer directement.
La droite A«'K passe donc au milieu m de b' c' . Mais b' m est égal au demi-périmètre yw du triangle a'b'c' diminué de b' y =a'c donc m est le point de contact de b' c' avec le cercle inscrit au triangle a' b' c'. Autrement dit, K est le point cle Gergonne du triangle a'b'c’.
3° Les droites 7H1, (3'Hi étant perpendiculaires à a$r, «7, la droite «Hi est perpendiculaire à p'7 et H2II3. Donc les lignes «Hi, 6H2, cH3 sont les hauteurs du triangle HiH2H3; il est facile de voir que leur point de concours h est aussi le centre du cercle circonscrit au triangle abc.
4° On sait que les triangles 70c (3, ABC sont semblables et ont môme point de Brocard 12.
Leurs côtés homologues font un angle constant cp, que l’on peut calculer par la formule
tangcp = — (tangA -h tangB h- tangC) = — tangA tangB tangC.
Pour démontrer celle-ci, menons a p perpendiculaire à AB; nous aurons {fig. 36)
. cep ap B a 7 p Ilia
tangcp tang «7 B - ^ , Ch3 - BC ’ BH3 ~
BC
D’où, en éliminant ap et 7 p,
CH3.Ba
tangcp — puis, en observant que
BH3 .Hi a
CII3 B a aH2 BH3 * all2 * Hi a ’
^j^=tangB, = tang BH2 a — tangC, ^r— ^ = tang a HiH2= tangA,
Bxi3 L a rl2 rijoc
on trouve la formule indiquée.
Soient p le rayon du cercle T et R celui du cercle ABC. Le triangle 277' donne
<*7' = 2 p sin cp.
Mais les quadrilatères OH2AH3, OII3 BHi , OIIiCH2 ont pour mesures -H2I13.A0, -H3H1.BO, -ERE^.CO; par suite, l’aire du triangle ABC est
•2 !2 Jl
S = -R(H,Hi+H,H,+ H1H,) = R.«v’I
GÉOMÉTRIE DU TRIANGLE
et comme on a
ocy' S sinAsinBsinC
2 sin cp 2 R sin cp sin cp
le rapport de similitude des triangles a(3y, ABC a pour valeur p sinA sinB sinC cosAcosBcosC
R sin cp
