LIVRE I. — LA LIGNE DROITE. OC

77. Deux triangles ABC, A'B'C', qui ont leurs côtés parallèles ou perpendiculaires chacun à chacun, ont leurs anglçs égaux chacun à chacun.

En effet, deux angles qui ont leurs côtés parallèles ou perpendiculaires étant égaux ou supplémentaires, on a

À — À' ou A 4- A' — 2d,

B = ou B + B' =

C = C' ou C -h C' ~ id.

On ne peut donc faire que les trois hypothèses suivantes :

et, par suite (76),

Or, dans le premier cas, la somme des angles des deux triangles vaudrait 6 angles droits; dans le second cas, cette somme surpasserait 4 angles droits de la quantité A -h A7 =2 A. Ea troisième combinaison est donc seule possible.

THÉORÈME

78. La somme des angles intérieurs d'un polygone convexe ABCDEF est égale à autant de fois deux angles droits qu’il a de côtés moins deux [fi g. 53).

En joignant l’un des sommets A à tous les sommets non adjacents, on décompose le polygone en autant de triangles qu’il a de côtés moins deux; car chaque triangle contient un seul côté du polygone, excepté les deux triangles extrêmes, qui renferment chacun deux côtés de ce polygone. La somme des angles du polygone est égale à celle des angles de tous ces triangles; elle vaut donc autant de fois deux angles droits qu’il

GÉOMÉTRIE PLANE

y a de triangles, c’est-à-dire autant de fois deux angles droits que le polygone a de côtés moins deux.

ScOLlE.

70. Si l’on désigne par n le nombre des côtés du polygone, la somme de ses angles aura pour expression, en prenant l’angle droit pour unité,

2 ( Il - 2. ) OU 2 il — 4 •

Si l’on fait dans la formule n — 4> on trouve 4 pour la somme cherchée. La somme des angles d’un quadrilatère convexe est donc égale à quatre angles droits ; d’où il suit que si un quadrilatère a tous ses angles égaux , chacun de ces angles est droit e

Corollaire.

80. La somme des angles qu on forme à V extérieur d’un polygone convexe , en prolongeant successivement ses côtés dans le même sens, est égale à quatre angles droits ( fi g . 5/j).

En effet, la somme d’un angle extérieur quelconque NÀG et de l’angle intérieur adjacent FAB est égale à deux angles droits ; donc, la somme des angles, tant intérieurs qu’extérieurs du polygone, est égale à autant de fois deux angles droits qu’il a de sommets ou de côtés. Cette somme surpasse donc de quatre angles droits (79) la somme des angles intérieurs : en d’autres termes, la somme des angles extérieurs est égale à quatre angles droits.

81 . Il convient de remarquer qu’un polygone convexe nesaurait avoir d’après cela plus de trois angles intérieurs aigus; sans quoi il aurait plus de trois angles extérieurs obtus, et la somme de ses angles extérieurs surpasserait quatre angles droits.