R2 + OH T OH
3. Du centre O du cercle circonscrit au triangle ABC on abaisse des perpendiculaires sur les droites passant par les pieds des trois bissectrices extérieures ou par ceux de deux bissectrices intérieures. Ces perpendiculaires ont pour mesures
4. Le centre radical des trois cercles exinscrits à un triangle ABC coïncide avec le centre du cercle inscrit au triangle complémentaire de ABC. — Proposition analogue pour le centre radical du cercle inscrit à ABC, combiné avec deux cercles exinscrits.
5. Si deux triangles sont symétriques par rapport à un point, les transversales réciproques (N., 8) des côtés de l’un par rapport à l’autre triangle sont concourantes.
6. Une transversale m rencontre les côtés d’un triangle ABC aux points rri\ , rn2 , m3. Les isogonales (N., 9) des droites A mu Bw2, Cw3 rencontrent les côtés aux points m\ , m\2 , m'3. Démontrer que les
GÉOMÉTRIE DU TRIANGLE
points tn\ , m'2, 7??'3 sont situés sur une droite /??/. Les droites /??, w/ sont appelées transversales inverses.
7. Soient M, N, P trois points quelconques pris sur les côtés BC, CA, AB du triangle ABC. Démontrer la formule
MNP BM . CN . AP -+- MC . NA . PB ABC ~ àBTBC.CA
En conclure que i° si M', N', P' sont les isotomiques des points Al, N, P, les triangles A1NP, AP N' P' sont équivalents; *2° si ABCDEF est un hexagone dont les côtés opposés soient parallèles, les triangles ACE, BDF sont équivalents.
8. Calculer en fonction des côtés d’un triangle ABC : i° l’aire du triangle orthique; 2° celle du triangle qui a pour sommets les pieds des trois bissectrices intérieures; 3° celle du triangle qui a pour sommets les points de contact des côtés du triangle ABC avec le cercle inscrit.
9. Soit P un point quelconque du plan d’un triangle ABC, et soient Hi, H2, H3 les orthocentres (N., 5) des triangles BCP, CAP, ABP. Démontrer que les triangles ABC, HiH2H3 sont équivalents.
10. Soient a, (3, y les points où les médianes m, m\ m" du triangle ABC rencontrent la circonférence circonscrite. Démontrer que
ABC 27m2m'2m"2
11. Trois droites menées par les sommets d’un triangle ABC et par un môme point P rencontrent les côtés aux points A', B', C'. On les prolonge, dans les deux sens, des quantités
A'a = Aa'= AA', B'(3 = BB', C'y = 0?'= CC'. Démontrer que
ajfy = 4 A'B'C'-t- 3 ABC, a'£Y = A'B'C'-t- 6 ABC.
12. Sur les côtés du triangle ABC, on construit, vers l’extérieur, les carrés BCDE, CAFK, ABLAI; soient x, y, z les centres de ces carrés, et soient X, Y, Z les quatrièmes sommets des parallélogrammes construits sur AF et AM, BL et BE, CD et CK. Démontrer les propriétés suivantes :
i° Les droites FAI, LE, DK sont égales et perpendiculaires aux médianes de ABC.
2° Les droites AX, B Y, CZ sont égales et perpendiculaires aux côtés de ABC.
3° Les droites A.r, B y, Cz sont égales et perpendiculaires aux côtés ^ yy du triangle xyz.
4° Les milieux des côtés du triangle ABC sont les centres des carrés construits intérieurement sur les côtés du triangle xyz.
5° Les points x, y , s sont les milieux des côtés du triangle XYZ.
6° Les triangles ABC, xyz , XYZ, EKM, DFL ont même centre de gravité.
7° Les quadrilatères BCFM, FKBL, MLCK sont équivalents au carré construit sur yz.
8° L’hexagone EDKFMLE a pour mesure chacune des sommes
BC -+- iyz , CA -h izx , AB -+- ixy .
9° Les droites Ax, BF, CM, KL concourent en un même point.
io° Les quadrilatères EDFM, KFLE, MLDK sont égaux à quatre fois le triangle xyz.
13. Les notations étant celles de l’exercice précédent, on demande de construire le triangle ABC, connaissant :
i° Les points x, y, z;
2° Les points X, Y, Z;
3° Le triangle formé par les droites DE, KF, ML suffisamment prolongées ;
4° Le triangle formé par les droites FM, LE, DK suffisamment prolongées.
14. Par un point P, pris dans le plan d’un triangle ABC, on mène une parallèle à BC, rencontrant CA en p, AB en y'; une parallèle à CA, rencontrant AB en y, BC en a'; enfin, une parallèle à AB, rencontrant BC en a, CA en fi'. Démontrer :
i° Que
aa
2° Que les triangles afly, a' fi' y' sont maximums, lorsque P est le centre de gravité de ABC ;
3° Que la somme a a' -+- fl fi' yy’ est minimum, lorsque
a . aa' = b. fl fl' = c . yy' ;
les coordonnées barycentriques (N., 2) de P sont alors
«2 ' ' ô2' ^ c5 ’ “ P c2 ’ rt2
4gO GÉOMÉTRIE DU TRIANGLE.
15. Les notations étant celles de l’exercice précédent, démontrer :
i° Que
P« , pP . pY p«' pft' Pf
•2° Que la somme Pa -+- P(4 -h ?y est minimum, lorsque P est le point de Brocard O.
16. Étant donné un triangle ABC, déterminer un point Ji tel que, si l’on mène les droites Jial5 Ji(3i, JiYi parallèles à AB, BC, CA et rencontrant en oct, (3l5 yi les côtés BC, CA, AB, on ait
Jj ai = Ji Pi = Jj Yi.
De même, déterminer un point J2 tel, que les droites J2a2, J2P25 J2Y2 parallèles à CA, AB, BC et limitées à BC, CA, AB, soient égales entre elles.
Les coordonnées normales des points Ji, J2 sont
l’inverse de Ji a! et J2a2 est égal à la somme des inverses de «, ô, c\ l’orthocentre de l’un des triangles a2(32Y2 est le centre du
cercle circonscrit à l’autre ; enfin, ces deux triangles ont même cercle des neuf points.
17. Étant donné un triangle ABC, déterminer un point J tel, que les parallèles menées par ce point aux côtés de ABC et terminées aux autres côtés soient égales.
Démontrer que l’inverse de l’une de ces parallèles égale la demisomme des inverses des côtés de ABC, et que J est le complémentaire du réciproque du centre du cercle inscrit au triangle ABC.
Les associés harmoniques des points J, J 1 , J2 (voir l’énoncé précédent) jouissent de propriétés analogues.
18. Soient AM, AN deux droites symétriques par rapport à la bissectrice de l’angle A du triangle ABC; soient M, N leurs points de rencontre avec BC, et M', N' leurs points de rencontre avec la circonférence ABC. On a
