LIVRE VIII
LES COURBES USUELLES
§ I. — Propriétés fondamentales de l’ellipse.
Définition et tracé de la courbe; foyers, centre et axes . 289
Point intérieur ou extérieur . 298
Propriété fondamentale de la tangente, normale . 29^1
Cercles directeurs, cercle principal . 297
Tangente par un point donné. — Lieu des sommets des angles droits circonscrits à la courbe. — Propriétés des tangentes issues d’un point
extérieur . 299
Tangente parallèle à une direction donnée; produit des distances des
foyers à une tangente . 802
Points de rencontre d’une droite avec l’ellipse non tracée . 3o4
§ II. — Propriétés fondamentales de l’hyperbole.
Définition et tracé de la courbe; foyers, centre et axes . 3o5
Point intérieur ou extérieur . 3o8
Propriété fondamentale de la tangente. — Réciproque pour l’ellipse et l’hyperbole. — Normale . 309
TABLE DES MATIERES
Pages.
Cercles directeurs, cercle principal . 3i2
Asymptotes. — Hyperbole équilatère. — Hyperboles conjuguées . 3 1 3
Tangente par un point donné. — Lieu des sommets des angles droits circonscrits à la courbe. — Propriétés des tangentes issues d’un point
extérieur. — Application au quadrilatère circonscriptible . 3 1 6
Tangente parallèle à une direction donnée; conséquences . 3 1 8
Points de rencontre d’une droite avec l’hyperbole non tracée; discussion. 3xg
§ III. — Propriétés fondamentales de la parabole.
Définition et tracé de la courbe : foyer, directrice, paramètre, axe . 3ai
Point intérieur ou extérieur . 3a3
Propriété fondamentale de la tangente. — Réciproque . 324
Propriété de la tangente relative à la directrice . 326
Normale. — Tangente au sommet. — Le foyer est le centre du cercle circonscrit au triangle formé avec l’axe par la tangente et la normale. .. 327
La directrice est le lieu des points symétriques du foyer par rapport aux tangentes, et la tangente au sommet est le lieu des projections du foyer
sur ces mêmes tangentes . 328
Expressions de la sous-tangente, de la sous-normale et de l’ordonnée. . . 33 1
Tangente par un point donné. — Lieu des sommets des angles droits circonscrits à la courbe. — Propriétés des tangentes issues d’un point
extérieur . 33 a
Tangente parallèle à une direction donnée . 334
Points de rencontre d’une droite avec la parabole non tracée . 334
§ IV. — Ellipse considérée comme projection orthogonale
du cercle.
La projection orthogonale d’une circonférence de cercle sur un plan est
une ellipse : conséquence relative à l’ordonnée . 335
Affinité de l’ellipse et du cercle principal. — Application au tracé des
tangentes et à l'intersection d’une ellipse et d’une droite . 33y
Diamètres de l’ellipse, diamètres conjugués, tangente à l’extrémité d’un
diamètre . 34o
Aire de l’ellipse . 3ji
Ellipse décrite par un point quelconque d’une droite de longueur constante dont les extrémités glissent sur deux droites rectangulaires. — Construction de la normale en un point de cette ellipse : conséquence. 3ji Etant donnés deux diamètres conjugués de l’ellipse en grandeur et en
direction, construire les axes de la courbe . 343
Théorème de Schooten et de la Hire . 344
§ V. — Parabole considérée comme limite de l’ellipse.
La limite d’une ellipse dont un sommet et le foyer voisin restent fixes, tandis que l’autre foyer s’en éloigne indéfiniment dans la direction du
TVRLE DES MATIERES.
Pages.
grand axe, est une parabole : conséquences . 345
Parabole rapportée à un diamètre et à la tangente correspondante; conservation de la propriété de la sous-tangente . 347
Aire d’un segment parabolique . . . . 348
§ VI. — Origine commune des trois courbes.
Sections planes du cône de révolution.
Directrices dans l'ellipse et dans l’hyperbole: propriétés fondamentales. 34g Lieu des points dont les distances à un point fixe et à une droite fixe
sont dans un rapport constant; conséquences. . . . . 35 1
Sections planes d’un cône circulaire droit, examen des différents cas. . . . 353
Définition commune aux trois sections coniques . 357
Placer une ellipse, une hyperbole ou une parabole donnée sur un cône
de révolution donné . 357
Projection de la section plane d’une surface gauche de révolution sur un
plan perpendiculaire à l’axe de la surface; cas du cône . 35g
Construction d’une conique d’après certaines données . 36o
§ VII. — Propriétés fondamentales de l’hélice.
Ordonnée et abscisse curviligne d’un point d’une surface cylindrique. . . 362
Définition de l’hélice. — Spires. — Pas . 363
Transformée de l’hélice dans le développement du cylindre . 363
Tangente et sous-tangente. — Conséquences . 364
