Dans tout parallélogramme

i° Les côtés opposés sont égaux deux à deux ;

20 Les angles opposés sont égaux deux à deux ;

3° Les diagonales se coupent mutuellement en deux parties égales.

Soit le parallélogramme ABCD (fig. 60).

i° Deux côtés opposés quelconques AB et CD, par exemple, sont égaux entre eux ; car ce sont, par hypothèse, deux droites parallèles comprises en tredeuxa u très droites parallèles ADelBC(68).

GÉOMÉTRIE PLANE

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2° Deux angles opposés quelconques, DAB et BCD, par exemple, sont égaux entre eux; car ils sont formés par des côtés parallèles deux à deux et de sens contraires (70). AB et CD sont en effet parallèles et de sens contraires, et il en est de même de AD et de CB.

3° Chacune des diagonales AC et BD est coupée par l’autre, au point O, en deux parties égales. En effet, les deux triangles AOB, BOC, ont un côté égal adjacent à deux angles égaux, ; savoir : le côté AB égal au côté DC, comme côtés opposés du parallélogramme-, l’angle OAB égal à l’angle OCD, comme alternes-internes par rapport aux parallèles AB et CD coupées par AC; et l’angle OBA égal cà l’angle ODC, comme alternes- ; internes par rapport aux mêmes parallèles coupées par BD. Les triangles AOB, DOC sont donc égaux. Par suite, le côté OB opposé à l’angle OAB, est égal au côté OD opposé à l’angle OCD, 1 et le côté OA opposé à l’angle OBA est égal au côté OC opposé ; à l’angle ODC.

THÉORÈME

8i. Un quadrilatère convexe esl un parallélogramme :

i° Si ses côtés opposés sont égaux deux à deux ;

2" Si ses angles opposés sont égaux deux à deux ;

3° Si deux côtés opposés sont à la fois égaux et parallèles ;

4° Si ses diagonales se coupent mutuellement en deux par ties égales.

Soit le quadrilatère ABCD ( fig. 6i).

i° Menons la diagonale AC. Les deux triangles ABC, ADC, sont égaux comme ayant les trois côtés égaux, savoir : AC commun, AB et CD égaux entre eux par hypothèse, ainsi que AD et BC. Par suite, l’angle BAC opposé à BC est égal à l’angle ACD opposé «à AD; et comme ces angles occupent, par rapport aux deux droites AB et CD et à la sécante AC, la position d’aîlernes-internes, les deux côtés AB et CD sont parallèles (65). De même, l’égalité des angles BCA et CAD entraîne le parallélisme des deux autres côtés AD et BC. Donc, le quadrilatère

LA LIGNE DROITE