LIVRE I

ABCD ayant ses côtés opposés parallèles deux à deux est un arallelogramme.

Fig. Ci. Fig. 62.

20 Les angles opposés A et G étant égaux entre eux, ainsi que les angles B et i) [fig- 62), on voit que deux angles consécutifs quelconques, B et G par exemple, ont une somme égale à la moitié de la somme des angles du quadrilatère, c’està-dire à deux droits. Ces deux angles B et G étant supplémentaires, et, de plus, intérieurs d’un même côté par rapport aux deux droites AB et ÇD coupées par BC, ces mêmes droites sont parallèles (65). On démontrerait de même que, les angles A et B étant supplémentaires, les deux autres côtés opposés, AD et BC, sont parallèles. Le quadrilatère ABGD est donc un parallélogramme.

3° Soient AB et CD les deux côtés opposés que l’on suppose égaux et parallèles {fîg- 61). En menant la diagonale AG, on forme deux triangles ABC, ABC, qui ont un angle égal compris entre deux côtés égaux, savoir : l’angle BAC égal à l’angle ACD, comme alternes-internes par rapport aux parallèles AB et CD coupées par AC; le côté AB égal au côté CD par hypothèse, et le côté AC commun. De l’égalité des triangles ABC, ADC, résulte celle des angles ACB et CAD; et comme ces angles sont alternes-internes par rapport aux deux droites AD et BC coupées par AC, ces mêmes droites sont parallèles. Le quadrilatère ABCD ayant ses côtés opposés parallèles deux à deux es! un parallélogramme.

4° Puisqu’on suppose OA = OC et OB = OD (fîg. 60), les angles ÀOB et COD étant d’ailleurs opposés par le sommet, les deux triangles AOB, COD, sont égaux. Donc, l’angle OAB est égal à l’angle OCD. D’ailleurs, ces angles étant alternesinternes par rapport aux droites AB et CD coupées par AC, les côtés opposés AB et CD sont parallèles. De l’égalité des triangles AOD, BOC, on déduirait pareillement l'égalité des an

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gles OAD, OCB, et, par suite, le parallélisme des deux autres côtés opposés AD et BC. Le quadrilatère ABCD, ayant ses côtés opposés parallèles deux à deux, est donc un parallélogram me.

THÉORÈME

85. Tout rectangle est un parallélogramme dont les diagonales sont égales { fig . 63).

D’abord, tout rectangle est un parallélogramme, puisque ses angles opposés sont égaux (84, 2°). En second lieu, les deux triangles DAB, CBA, par exemple, sont égaux comme ayant un angle égal compris entre deux côtés égaux, savoir : l’angle droit DAB égal à l’angle droit CBA, le côté AB commun, et le côté AD égal au côté BC, comme côtés opposés d’un parallélogramme; donc, les diagonales AC et BD, hypoténuses des triangles rectangles égaux DAB, CBA, sont égales.

86. Réciproquement, tout parallélogi anime do fit les diagonales sont égales est un rectangle ( fig . 03.). Car les triangles DAB, CBA, sont alors égaux comme ayant leurs trois côtés égaux : donc, l’angle DAB est égal à l’angle CBA, et comme chacun d’eux est égal à son opposé (83), on voit que le parallélogramme considéré a tous ses angles égaux et, par suite, est un rectangle.

87. Tout losange est un parallélogramme dont les diagonales sont : i° perpendiculaires Tune sur l’autre ; i° bissectrices des angles opposés ( fig . 64).

D’abord, tout losange est un parallélogramme, puisque ses côtés opposés sont égaux (84, i°).

En second lieu, les triangles ABC et ADC étant isocèles, puisque les quatre côtés d’un losange sont égaux, la diagonale BD, qui passe par le milieu 0 de la diagonale AC, esta la fois perpendiculaire sur AC et bissectrice des angles B et D.