Un plan est déterminé

i° Par une droite AB et un point C extérieur à celte ligne ;

2° Par trois points A, B, C, non en ligne droite ;

3° Par deux droites AB et AC qui se coupent ;

4° Par deux droites parallèles.

En effet (t fig . 278) :

Fig. 278.

i° Que l’on mène un plan ADEB par AB, et qu’on le lasse

GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

tourner autour de cette droite, comme une porte sur ses gonds, jusqu’à cequ’il contienne le pointC; on aura alorsun plan AFGB passant par la droite AB et par le point C. 11 ne saurait d’ailleurs en exister d’autres, puisque deux plans remplissant ces conditions coïncident (489, 2°).

2° On ramène le deuxième cas au premier en remarquant que tout plan passant par la droite AB et le point C contient les trois points A, B, C, et réciproquement.

3° On ramène le troisième cas au premier en remarquant que tout plan passant par AB et par un point quelconque de AC contient les deux droites AB, AC, et réciproquement.

4° Deux parallèles sont toujours, par définition (56), situées dans un même plan; et ce plan est le seul qui les contienne, puisqu’on ne peut mener qu’un plan parla première parallèle et par un point de la seconde.

Corollaires.

493. Par un point A, on ne peut mener dans l'espace qu'une parallèle ù une droite donnéelïE. Car [fi g. 278), si AB est une parallèle à DE menée par A, AB sera située dans le plan ADE (492, 4°), et l’on sait que, dans un plan, on ne peut mener par un point qu’une parallèle à une droite (59).

494. Nous avons indiqué les positions relatives d’une droite et d’un plan, ainsi que celles de deux plans. Il nous reste, pour terminer ces préliminaires, à étudier les positions relatives de deux droites.

Deux droites AB et CD étant données d’une manière quelconque dans l’espace, le plan P, mené par AB et par un point quelconque I) de CD, peut couper cette droite CD ou la contenir tout entière.

Dans le premier cas (Jîg. 275), il n’existe aucun plan qui contienne à la fois les deux droites AB et CD; car un tel plan ayant la droite AB et le point D communs avec le plan P coïnciderait avec lui, et, par suite, le plan P contiendrait la droite CD contrairement à l’hypothèse. Les deux droites AB et CD, n étant pas situées dans un même plan, ne peuvent ni se couper ni être parallèles (492, 3° et 4°)»