LIVRE V

LE PLAN

Iaire à 10 élevée dans le plan 10B par le point 0, c’est-à-dire avec OB; les angles plans AOB, A'O' B' sont donc égaux.

20 Puisque l’angle plan A' 0' B' est égal à AOB, pour prouver que l’angle plan AOC est égal à la somme de A' 0' B' et de BOC, il suffit de faire voir que les trois droites OC, OB, OA sont dans un même plan; or cela résulte du n° 521.

552. Par suite, tout angle dièdre a la même mesure que l’angle plan correspondant, pourvu que Ton prenne pour unité d’angle dièdre l’angle dièdre auquel correspond l’angle plan choisi pour unité d’angle plan ; ou, d’une manière incorrecte, mais plus rapide, tout angle dièdre a pour mesure son angle plan.

Scolies.

553. L’angle dièdre droit a pour angle plan un angle droit , et, inversement, un angle dièdre est droit si son angle plan est droit. En effet, soient PABQ, PABQ' (fig. 3o8) deux angles dièdres adjacents formés par la rencontre du plan P et du plan QQ' ; par un point Ode l’arête AB, menons un plan perpendiculaire à cette arête; ce plan déterminera, par ses intersections avec les plans P et QQ', deux angles rectilignes adjacents EOC, EOD, qui seront les angles plans des deux angles dièdres proposés. Or, quand les deux dièdres sont égaux, les deux angles plans sont égaux, et réciproquement.

554. La proportionnalité des angles dièdres et des angles plans correspondants permet de conclure un grand nombre de propriétés des angles dièdres des propriétés analogues des angles rectilignes démontrées en Géométrie plane. Nous citerons, par exemple, les propositions suivantes, qui sont souvent utiles :

Le plan bissecteur d’un angle dièdre est le lieu des points qui , situés dans l’intérieur de cet angle, sont équidistants de ses faces ; etc. {Voir les nos 51, 52, 53.)

Deux angles dièdres qui ont leurs faces parallèles deux à deux sont égaux ou supplémentaires. ( Voir le n° 70.)

23 GÉOMÉTRIE DANS G ESPACE

THÉORÈME

553. Parmi toutes les droites que l’on peut mener par un point A dans un plan P, celle qui fait le plus grand angle avec un autre plan donné Q est la perpendiculaire AB abaissée du point A sur l’intersection LT des deux plans P et Q ( fig . 3og).

Tiff- 309.

Soient AG une droite quelconque menée par le point A dans le plan P, et a la projection du point A sur le plan Q; «B et a C seront les projections de AB et de AC, et il s’agit de dé- j montrer (536) que l’angle ABu est plus grand que l’angle ACa. Or, la droite a B étant perpendiculaire sur LT, en vertu du théorème des trois perpendiculaires, la droite «G est une oblique, et Ton a aB < a C. Si Ton prend sur la droite «B, à partir du point a> une longueur «D égale à a G, le point 1) sera donc situé au delà de B, et l’angle AB« extérieur au triangle ABD surpassera l’angle intérieur AD a ; mais, les triangles A a C et ArtI) étant égaux comme ayant un angle droit égal compris entre deux côtés égaux, l’angle AD a est égal à l’angle ACa; donc enfin l’angle AB« est plus grand que l’angle ACcn

Scolie.

556. Lorsque le plan Q est horizontal, la droite AB prend le nom de ligne de plus grande pente du plan P. L’angle de cette ligne avec le plan Q est l’angle plan du dièdre PLTQ. Par chaque point d’un plan passe une ligne de plus grande pente de ce plan, et une seule.