LIVRE V

pendiculairement à l'intersection commune CD, est perpendiculaire à r autre plan Q [fi g» 3io).

En effet, les deux plans P et Q étant perpendiculaires l’un à l’autre, l’angle plan correspondant à l’angle dièdre PCDQ doit être droit ; or on forme cet angle plan APE en élevant, dans le plan Q et par le point B, la perpendiculaire PE à CD ; donc la droite AB est perpendiculaire à BE, et, comme elle l’est aussi par hypothèse à CD, elle est perpendiculaire au plan Q.

THÉORÈME

558. Si une droite AB est perpendiculaire à un planQ , tout plan P passant par cette droite ou parallèle à cette droite est perpendiculaire au planQ.

En effet :

i° Si le plan P passe par AB [fi g. 3io), menons dans le plan Q et par le point B la perpendiculaire BE à l’intersection CI) des deux plans P et Q. L’angle APE sera droit, puisque la droite AB est, par hypothèse, perpendiculaire au plan Q; d’ailleurs, cet angle ABE est l’angle plan du dièdre PCDQ ; donc ce dièdre est droit, et le plan P est perpendiculaire au plan Q.

2° Si le plan P est parallèle à AB [fig. 3i i), menons par un point quelconque E de ce plan la parallèle EF à AB ; cette droite EF sera à la fois perpendiculaire au plan Q et située dans le plan P. Donc le plan P, passant par une droite EF perpendiculaire au plan Q, sera perpendiculaire à ce plan (i°).

550. Réciproquement, si deux plans Q et P sont perpendiculaires entre eux, toute droite 4 B perpendiculaire au premier plan Q est située dans l’autre plan P ou lui est parallèle.

En effet, si la droite AB n’avait qu’un seul point commun

GÉOMÉTRIE DAIS S L’ESPACE

avec le plan P, en menant de ce point une perpendiculaire sur l’intersection CD des plans P et Q [fi g» 3 1 1 ) , cette perpendiculaire serait perpendiculaire au plan Q, et l’on pourrait mener d’un même point deux perpendiculaires au plan Q; ce qui est impossible. La droite AB, ne pouvant couper le plan P, est donc parallèle à ce plan ou située dans ce plan.

Corollaire.

5G0. Par une droite AB oblique à un plan P [fig. 3 12), on peut abaisser un plan perpendiculaire sur ce plan P, et l’on ne peut en abaisser quun .

En effet, le plan BAa, déterminé par la droite AB et par la perpendiculaire ka au plan P abaissée d’un point quelconque de AB, est perpendiculaire au plan P. C’est le seul, car tout plan conduit par AB perpendiculairement au plan P doit contenir la perpendiculaire A a.

Fig. 3 1 2 . Fig. 3 1 3 .

THÉORÈME

561 . Si deux plans P et Q sont perpendiculaires à un troisième R, leur intersection AB est perpendiculaire à ce troisième plan ( fig . 3 1 3).

Car si, par un point quelconque de l’intersection AB, on mène la perpendiculaire au plan R, cette perpendiculaire doit se trouver à la fois dans le plan P et dans le plan Q (559) ; elle ne diffère donc pas de AB.

Corollaires.

5G2. Un plan perpendiculaire à deux plans qui se coupent est perpendiculaire à leur intersection.

5G3. Si les plans P et Q de la fig. 3 1 3 formentun angle dièdre droit, les trois plans P, Q, R seront perpendiculaires entre