VII. - ANGLES POLYÈDRES

DÉFINITIONS

564. Lorsque plusieurs plans ASB, BSC, CSD, ... [fi g. 3 14 ) se coupent successivement suivant des droites SB, SC, SD, . . . qui concourent en un même point S, on dit qu’ils forment un angle polyèdre . Le point S est 1 o, sommet, les droites SA, SB, SC, . . . sont les arêtes , et les angles ASB, BSC, CSD, . . . sont les faces de l’angle polyèdre.

On désigne un angle polyèdre par la lettre du sommet suivie des lettres relatives aux diverses arêtes. Ainsi, pour indiquer l’angle polyèdre de la fig. 3 1 4 » on dira l’angle SABCDE, ou plus simplement l’angle S; car, quand un angle polyèdre est isolé, la lettre du sommet suffit.

Fig. 3i 4. Fig. 3i5.

Il faut au moins trois plans pour former un angle polyèdre. L’angle formé par trois plans prend le nom d’angle trièdre. Dansun angle trièdre BACS [fig. 3 r 4 ), on distingue six éléments, savoir : les trois faces SBA, SBC, ABC, et les trois dièdres BA, BC, BS.

565. On dit qu’un angle polyèdre est convexe , lorsqu’il est situé tout entier d’un même côté par rapport au plan indéfini de chacune de ses faces [fig. 3i4) ; il est concave dans le cas contraire ( fig . 3i5).

Considérons un angle polyèdre convexe SÀBCDE [fig. 3i6); ses arêtes seront, d’après la définition de la convexité, situées toutes d’un même côté du plan PQ d’une face quelconque ASB; dans la Jig. 3i6, nous les avons placées, pour fixer les

Fig. 3 i 6.

idées, au-dessus de ce plan. Par ie point S, dans le plan PQ, menons une droite MN située en dehors de l’angle ASB, et concevons une série de plans menés par la droite MN et contenant successivement chacune des arêtes SC, SI), SE. Si I)SM ou RMN est celui de tous ces plans qui fait le plus petit angle avec la portion PMN du plan PQ, l’angle polyèdre proposé SABCDE sera situé tout entier dans l’angle dièdre RMNQ formé par la partie antérieure Q et la partie supérieure R des deux plans PQ, RT. Donc, tout plan GH mené par MN et situé dans l’angle dièdre PMNR et dans son opposé par l’arête QMNT sera un plan mené par le sommet S et laissant toutes les arêtes d’un même côté. Par suite, tout plan parallèle au plan GH et situé, comme l’angle polyèdre SABCDE, à droite de GI1, coupera toutes les arêtes de cet angle sans passer par le sommet. Le section sera donc un polygone ABCDE ayant autant de côtés que l’angle polyèdre a de faces, et ce polygone sera convexe; car, l’angle polyèdre étant tout entier d’un même côté, par rapport au plan de chacune de ses faces, le polygone se trouvera, par là même, situé tout entier d’un même côté par rapport à chacune des droites indéfinies qui unissent deux sommets consécutifs quelconques.