LIVRE V

LE PLAN

5GC). Si l’on prolonge au delà du sommet S toutes les arêtes d'un angle polyèdre SABCDE [fig. 3 17), on obtient un autre angle polyèdre SA'B'CCD'E' qui est dit le symétrique du premier.

Deux angles polyèdres symétriques SABCDE, SA'B'C'D'E' ont tous leurs éléments respectivement égaux : les faces ASR et A'SB', BSC et B'SC', ... sont égales deux à deux comme angles plans opposés par le sommet, et les angles dièdres SA et SA', SB et SB', . . . sont égaux comme opposés par l'arête. Mais la disposition des parties égales n’est pas la même dans les deux angles polyèdres. En effet, un observateur couché sur l'arête SA, ayant la tête en S, les pieds en A, et regardant l’intérieur de l’angle SABCDE, verrait les arêtes se présenter de

Fig. 317. Fig. 3 i 8.

droite à gauche dans l’ordre SB, SC, SD, SE; tandis qu’un observateur placé de la même manière dans l’autre angle SA' B' C' D' E', c’est-à-dire couché sur SA', ayant la tête en S, les pieds en A' et regardant l’intérieur de l’angle, verrait les arêtes se succéder de droite à gauche dans l’ordre inverse SE', SD', SC', SB'.

A cause de cette différence de disposition, deux angles polyèdres symétriques, bien qu’égaux dans toutes leurs parties, ne sont pas superposables.

En effet, considérons, par exemple, deux trièdres symétriques SABC et SA'B'C' [fig. 3 1 8 ) , et supposons, pour fixer les idées, que l’arête SC soit en avant du plan ASB, et, par suite, que son prolongement SC' soit en arrière du même plan. Il y a R. et de C. — Tr. de Géorn. (11° Partie). 3

34 GÉOMÉTRIE DANS LESPACE.

deux manières différentes d’essayer la superposition des deux trièdres.

i° Concevons (Jig. 3 1 8 ) la perpendiculaire élevée par le pointS sur le plan ASB, et faisons tourner le trièdre SA'B' C' de iBo degrés autour de cette droite dans le sens de la (lèche/’ ; l’arête SA', qui dans ce mouvement ne sort pas du plan ASB, viendra sur SA; de même SB' s’appliquera sur SB; mais l’arête SC' restera toujours en arrière du plan ASB; par suite, dans sa nouvelle position, le trièdre SA'B'C' ne coïncidera pas avec SABC.

2° Menons (ftg. 319) la bissectrice .rSjde l’angle BSA', et, autour de cette droite, qui est située dans le plan ASB, faisons

Fifr. 3 19.

tourner le trièdre SA'B'C' de 180 degrés dans le sens de la (lèche 9. L’arête SA' s’appliquera sur SB, l’arête SB' sur SA, et, par suite, la face A' SB' coïncidera avecBSA ; de plus, l’arête SC' viendra celle fois en avant du plan ASB. Mais la nouvelle position SC, de cette arête différera en général de SC; car, les angles dièdres suivant les arêtes SA et SB étant en général inégaux, il en sera de même des angles dièdres SB et SA', et, par suite, les plans CSB et C, SB, étant inégalement inclinés sur le plan ASB, ne coïncideront pas.

On voit cependant que la coïncidence aurait lieu si le trièdre SABC avait les deux angles dièdres SA et SB égaux entre eux. Car, dans cette hypothèse, les plans C, S B et CSB seraient également inclinés sur le plan ASB; ils tomberaient donc l’un sur l’autre; il en serait de même des plans C,SA et CSA, et,