LIVRE V

LE PLAN

par suite, les arêtes SC et SC, sc confondraient. Observons d’ailleurs que la face C' SA', qui est égale à ASC, s’applique alors sur CSC, de sorte que l’égalité des deux angles dièdres SA et SB entraîne celles des faces CSB et CSA. Donc, en résumé, pour qu’un trièdre soit superposable à son symétrique , il faut et il suffit que ce trièdre ait deux angles dièdres égaux ; et, dans un tel trièdre, les faces opposées aux dièdres égaux sont égales.

567. Dans tout angle polyèdre, une face quelconque est moindre que la somme de toutes les autres.

Il n’y a lieu à démontrer celte proposition que lorsque la face considérée est plus grande que chacune des autres.

Cela posé, considérons d’abord un angle trièdre SABC [fg. 320 ). Dans la face ASB, que nous supposons plus grande que chacune des deux autres, formons un angle ASD égal à ASC, et prenons, à partir de S, sur les droites SD et SC, des longueurs SC et SD égales entre elles. Par le point D, menons une droite ABD qui rencontre les arêtes SA et SB en A et en B ;

Fig. 320. Fig. 32i.

enfin, joignons le point C aux points A et B. L’égalité des deux triangles ASD, ASC, qui ont un angle égal compris entre deux cotés égaux, donne AI) = AC ; et comme on a

AB ou AD -h DB < AC -+• CB,

on voit que le segment BD est moindre que CB. Dès lors, les deux triangles CSB, DSB, ayant SB commun, SC = SD, et DB <C BC, il faut (U) que l’angle DSB soit moindre que CSB. Donc, en ajoutant d’une part l’angle ASD et de l’autre son égal ASC, on a

ASD -t- DSB ou ASB < ASC + CSB.

GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

Pour étendre le théorème au cas d’un angle polyèdre quelconque, il suffit de décomposer cet angle en trièdres en menant par l’une des arêtes SA et par les arêtes opposées SC, SD, des plans diagonaux ASC, ASD [fi g. 317); la démonstration est évidente.

3G8. Dans tout angle trièdre, à un plus grand angle dièdre est opposée une plus grande face .

Soit [fi g. 321 ) le trièdre SABC dans lequel l’angle dièdre SC est plus grand que l’angle dièdre SB. On pourra mener dans le dièdre SC et par l’arête SC un plan CSD qui fasse, avec le plan CSB, un angle dièdre égal au dièdre SB. Le trièdre SBCD ayant deux dièdres égaux, les faces BSD, CSD, opposées à ces angles, seront égales (SGG). Or le trièdre SACD donne

ASC <C ASD -h DSC ;

on aura donc, en remplaçant la face DSC par son égale DSB, ASC < ASD H- DSB ou ASC < ASB.

En rapprochant ce théorème de celui qui a été démontre au dernier alinéa du n° 5G6, et en raisonnant comme au n° 33, on verra que : réciproquement, si un angle trièdre a deux faces égales , les dièdres opposés à ces faces sont égaux, et si un angle trièdre a deux faces inégales , à la plus grande face est opposé le plus grand dièdre.

SCOLIE

509. Si, par le sommet S d’un angle trièdre SABC, on mène une droite SO à volonté dans V intérieur de ce trièdre, la somme des angles OSB, OSC est moindre que la somme des faces ASB, ASC.

Si les deux faces d'un angle trièdre sont respectivement égales h deux faces d’un autre angle trièdre, et si l'angle dièdre compris entre les premières est plus grand que l’angle dièdre compris entre les deux autres , la troisième face du premier trièdre est plus grande que la troisième face du second.

Cette dernière proposition est l’analogue de celle du n° 40. Elle se démontre de la même manière. Il est inutile de faire de nouvelles figures; il suffit de regarder la fig. 34 comme la section

LlYiili V.

LU PLAN

plane des trièdres que l’on considère, les sommets de ces trièdres étant supposés en avant, par exemple, du plan des sections.

THÉORÈME

57 0. Dans tout angle polyèdre convexe , la somme des faces est moindre que quatre angles droits [fig. 322).

En eiTet, soit ABCDE un polygone convexe obtenu en coupant l’angle polyèdre par un plan qui rencontre toutes les arêtes (505). En ajoutant les inégalités

EAB < EAS -4- BAS,

ABC < ABS h- CBS,

BCD < BCS -h DSC,

que fournissent les trièdres A, B, C, . . . (567), on voit que la somme des angles intérieurs du polygone ABCDE est moindre que la somme des angles à la base des triangles SAB, SBC, SCD,..., qui ont S pour sommet, Or, la somme des angles tant intérieurs qu’extérieurs du polygone convexe ABCDE est égale à la somme de tous les angles des triangles dont S est le sommet commun. Donc, la somme des angles en S de ces triangles, c’est-à-dire la somme des faces de l’angle polyèdre, est moindre que la somme des angles extérieurs du polygone, c’est-à -dire moindre que quatre angles droits.

Fig. 322.

SCOLIE

571. 11 résulte des deux théorèmes précédents (567, 570) que, pour qu’un puisse former un angle trièdre avec trois faces données, il faut que la plus grande face soit inférieure à la somme des deux autres, et que la somme des trois faces soit moindre que quatre angles droits. Nous allons prouver que ces deux conditions sont suffisantes.

GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

Soient (fîg. 3s3) ASB la plus grande face, et ASC, BSC', les deux autres faces rabattues dans le plan de la première, de part et d’autre de celle-ci;

Fig. 3a3.

SC et SC' sont les deux droites provenant du dédoublement delà troisièmearête.

Décrivons du points comme centre un arc de cercle CC' de rayon arbitraire ; cet arc sera moindre qu’une circonférence, puisque la somme des trois faces données est inférieure à quatre angles droits. Ce et CV étant les cordes menées des points C et C' perpendiculairement aux arêtes SA et SB, les arcs AC et A c sont égaux entre eux, ainsi que les arcs BC' et Br'; et comme chacun de ces arcs est moindre que AB, les points c et c' tombent entre A et B. De plus, l’inégalité

arc AB < arc AC -+- arc BC' arc AB < arc Ac -+- arc Br',

qui exprime que la plus grande face ASB est inférieure à la somme des deux autres, montre que le point c tombe entre B et c'. 11 suit de là que les points C et c sont de part et d’autre de la corde C'c'; cette corde coupe donc la corde Ce en un point O situé à l’intérieur du cercle.

Élevons au point O la perpendiculaire OM au plan ASB et, dans le plan DOM, décrivons du point D comme centre, avec un rayon égal à DC, un arc de cercle qui coupera nécessairement la perpendiculaire OM, puisque OD est moindre que DC. M étant le point d’intersection, menons SM : le triedre SABM sera formé avec les trois faces données. En effet, si l’on tire MD et ME, ces droites seront respectivement perpendiculaires sur SA et sur SB, en vertu du théorème des trois perpendiculaires ; dès lors les deux triangles SDM, SDC sont égaux comme ayant un angle droit compris entre deux côtés égaux chacun à chacun : on en conclut d’abord que la face ASM est égale à la face donnée ASC, et que l’arête SM est égale à SG. Les deux triangles rectangles SME, SC'E ont donc l’hypoténuse égale et un côté commun, et leur égalité prouve que la face MSB est égale à l’autre face donnée BSC'.