La relation ( i ) est satisfaite lorsqu’on a

«B = cC Ct AC ” dDm

De là ce théorème : Si une première droite ac divise proportionnellement deux côtés opposés AB ct DC d'un quadrilatère gauche ABCD, et si une seconde droite bd divise proportionnellement les deux autres côtés BC et AD, ces deux droites sont dans un meme plan {Jig. 334).

Dans le cas particulier où le plan transversal P est parallèle aux deux côtés opposés BC et AD, les deux points A et cl passent à l’infini, les

GÉOMÉTRIE DANS L*£SPACE

deux rapports

&B <1 D bC Ct dA

se réduisent à l’unité, et la relation (i) devient i

a A rC a A c D

7/T] ’ cl) = 1 0U i V\i = TC*

Donc : Tout plan P, parallèle à deux côtés opposés BC et AD d'un' quadrilatère gauche A PCD, divise proportionnellement les dciu autres côtés.

La démonstration directe de ce théorème est d’ailleurs très-simple d si, par chacune des droites BC et AD, on imagine un plan parallèle au plan P, en a deux droites AB et CD coupées par trois plans parallèles ; donc (510), etc.

Réciproquement: Toute droite ar , qui divise proportionnellement deux] côtés opposés AB et CD d'un quadrilatère gauche ABCD, est située dans un plan parallèle aux deux autres côtés AD et BC. Car, si l’on imagine le plaît mené par c parallèlement aux droites AD et BC, ce plan doit, en vertu dut théorème direct, diviser le côté AB en parties proportionnelles à rC etc!) ;jj ce plan contient donc le point a et, par suite, la droite ac.

RAPPORT ANII A RMONIQU E DE QUATRE PLANS.

58 1. Il est aisé de voir que, lorsque quatre plans A, B, C, D passent par une meme droite, le rapport anharmonique du faisceau de quatr e droites déterminé par un plan transversal quelconque est indépendant de la position de ce plan transversal . Car les quatre droites <?, l>, c, r/, dé-i terminées par un premier plan P, et les quatre droites a ', b c\ d\ déterminées par un second plan P', se coupent deux à deux en quatre points a, (3, 7, S} situés sur l'intersection des deux plans P et P', et le rapport anharmonique des points a, S, 7, S est égal (321) à celui des droites a , b, c, d , aussi bien qu’à celui des droites a\ b ', c\ d'.

D’après cela, on donne le nom de rapport anharmonique d' un faisceau de quatre plans passant par une même droite à tout rapport anharmonique du faisceau de quatre droites déterminé par un plan transver.-al quelconque.

585. Lorsque quatre plans passent />ar une même droite , toute transversale les rencontre en quatre points dont le rapport anharmonique est égal à celui des quatre plans. Car ces deux rapports ne sont autres que celui du faisceau de quatre droites déterminé par un plan quelconque

contenant la transversale (321, 581).

Un faisceau de quatre plans, A, B, C, D, passant par une même droite, est dit harmonique lorsque le rapport anharmonique (A, B, C, D)