LIVRE V

LE PLAN

de ces quatre plans est égal à — i. Alors, tout plan transversal ou toute sécante détermine un système harmonique de quatre droites ou de quatre points.

PROJECTION CENTRALE Oü PERSPECTIVE.

586. Le théorème du n° 527, relatif à la projection d’une droite sur un plan, subsiste lorsque les projetantes des divers points de la droite sont obliques au plan, pourvu qu’elles soient parallèles entre elles ou qu’elles divergent d’un même point de l’espace; car les projetantes sont encore, dans l’un ou l’autre cas, situées toutes dans le plan de l’une d’elles et de la droite que l’on projette.

On est ainsi conduit à étendre le sens du mot projection.

La projection m d’un point M sur un plan P est dite orthogonale, oblique ou centrale, suivant que la projetante Mm est perpendiculaire au plan P, ou qu’elle est parallèle à une direction fixe oblique à ce plan, ou enfin quelle est issue du point fixe S de l’espace.

La projection orthogonale, oblique ou centrale d’une figure est le lieu des projections orthogonales, obliques ou centrales de ses divers points, en supposant, bien entendu, dans les deux derniers cas, que la direction oblique des projetantes, ou que le centre S de projection ne change pas quand on passe d’un point à un autre de la figure que l’on projette.

La perspective d’une figure sur un tableau P n’est autre chose que la projection centrale de cette figure sur le plan P, la position de l’œil étant prise pour centre S de projection.

D’après cela, le théorème du n° 585 peut encore être énoncé de la manière suivante :

Lorsque quatre droites concourantes sont situées dans un meme plan , si l’on construit leur projection orthogonale, oblique ou centrale, sur un plan quelconque, on obtient quatre droites concourantes dont le rapport anharmonique est égal à celui des quatre premières.

Le théorème du n° 530, relatif aux projections de deux droites parallèles, subsiste, ainsi que la démonstration, pour la projection oblique; mais il cesse d’être vrai pour la projection centrale. Nous allons, à cette occasion, donner, sur la projection centrale ou perspective, quelques définitions et quelques principes fondamentaux qu’il est indispensable de connaître.

587. On nomme droite de front toute droite parallèle au tableau, et plan de front tout plan parallèle au tableau.

On appelle trace d’une droite D le point t où elle rencontre le tableau P (fig. 335), et trace d’un plan la droite suivant laquelle ce plan coupe le tableau. Une droite de front n'a pas de trace, ou plutôt sa trace R. et de C. — Tr. de Géom. (IIe Partie). 4

GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

est à l’infini; il en est de même d’un plan de front. Quand une droite SF passe par le centre S de projection, sa perspective se réduit à un point/, qui est sa trace. Quand un plan passe par le centre de projection, tous les points de ce plan ont donc leurs perspectives sur la trace du plan.

On nomme point cle fuite d’une droite D non parallèle au tableau la trace f de la parallèle S / menée à cette droite par le centre S de projection. Quand un point M s’éloigne de plus en plus sur la droite D, la projetante SM de ce point tend vers la position S f et la perspective m du point M tend vers /; le point de fuite / d’une droite D est donc la perspective du point à l'infini de cette droite.

Lorsque plusieurs droites D, D', D", . . ., non parallèles au tableau , sont parallèles entre elles, elles ont le même point de fuite ; leurs perspectives d, d' , d', . . . concourent donc en ce point /.

Une droite de front A n’a pas de point de fuite, ou plutôt son point de fuite est à l'infini; elle a pour perspective une droite o qui lui est parallèle, car son plan projetant, passant par une droite A parallèle au tableau, coupe le tableau suivant nue parallèle § à cette droite. 11 résulte de là que, si plusieurs droites de front sont parallèles, leurs perspectives sont parallèles.

Les droites de front, parallèles entre elles, ne sont pas les seules droites qui aient leurs perspectives parallèles. Pour que des droites D, D’, D", . . . {fi g- 33G ) aient leurs perspectives d, d ' , d" , . . . parallèles entre elles, il faut et il suffit qu’elles rencontrent une même droite de front SX] passant par le centre^ de projection. En effet, la condition est nécessaire; car, si les traces cl, cl', cl",... des plans projetants S tel, S t'd', S t" cl' sont parallèles, ces plans se coupent suivant une droite SU parallèle (500) à d, d', cl", . . ., c’est-à-dire suivant une droite do front qui rencontre chacune des droites D, D’, D", .... La condition est suffisante! car, si elle est remplie, les plans projetants S«D, Sa'D', ...,