LIVRE VI

pède rectangle AG (Jig. 34o) a pour dimensions les longueurs des arêtes AB, AD, AE.

THÉORÈME

597. Les faces opposées d’an parallèlipipède sont égales et uarallèles.

Soit [fig* 342 ) le parallèlipipède AG. Ses bases ABCD, EFGIÎ sont, par définition, des parallélogrammes égaux et parallèles.

Fier, 342.

Il faut donc prouver seulement que deux faces latérales opposées, ADIIE et BCGF par exemple, remplissent la même condition. Or, AD et BC sont égaux et parallèles comme côtés opposés du parallélogramme ABCD; AE et BF sont aussi égaux et parallèles comme côtés opposés du parallélogramme ABFE. Par suite, les deux angles DAE et CBF sont égaux et leurs plans sont parallèles. Les deux parallélogrammes ADHE, BCGF sont donc égaux et parallèles.

598. Le parallèlipipède étant un prisme compris sous six faces parallélogrammes dont les opposées sont égales et parallèles, on peut prendre pour bases d'un parallèlipipède deux faces opposées quelconques ( 591).

599. Tout plan qui rencontre deux faces opposées d’un parallèlipipède le coupe suivant un parallélogramme. Soit le plan IKLM {fig. 342) qui rencontre les deux faces opposées ADIIE et BCGF du parallèlipipède AG. Les côtés opposés de la section IKLM étant parallèles comme intersections de deux plans parallèles coupés par un troisième, cette section est un parallélogramme.

GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

SCOLIE

600. Pour construire un parallclipipcde sur trois droites données AB, AD, AE, partant d’un même point A et non situées dans un même plan (fig. 342), il surfit de mener par l’extrémité non commune de chacune de ces droites un plan parallèle au plan des deux autres. Ainsi, par le point E, on conduira un plan parallèle au plan BAI), par le point D un plan parallèle au plan BAE, par le point B un plan parallèle au plan DAE. Le polyèdre compris sous les six pians considérés sera un* parallélipipède*

THÉORÈME

601. Dans un parallélipipède, les quatre diagonales se coupent mutuellement en parties Agates.

Fic. 34s.

Soient { fig. 343} le parallélipipède AG et scs quatre diagonales AG, CE, BI1, DF. Les deux côtés AE et CG étant égaux et parallèles, la figure ACGE est un parallélogramme dont les diagonales AG et CE se coupent mutuellement au point O en parties égales. La figure ABGII étant aussi un parallélogramme, les diagonales AG et BIî se coupent mutuellement en parties égales, c’est-à-dire au point O milieu de AG. On prouverait de même que la quatrième diagonale DF passe au point O et y est divisée en parties égales.

ScOLIES.

602. On appelle centre d’un parallélipipède le point de rencontre de ses quatre diagonales.

Toute droite KL passant par le point O et limitée à la surface du parallélipipède AG (fig. 343) est divisée au point O en deux parties égales. En effet, le plan déterminé par cette