LIVRE VI

LES POLYEDRES.

des prismes inscrits dans les diverses tranches de la pyramide SABC a pour limite le volume de cette pyramide, lorsque le nombre n croit indéfiniment.

Remarquons, à cet effet, que les droites SK, LR, HP, EN, étant égales et parallèles, les figures SK Ml, LRIIP, HPEN, sont des parallélogrammes; les segments KR, RP, PN, sont donc parallèles à l’arête SB, et, comme l’extrémité de chacun d’eux est l’origine du suivant, ils appartiennent tous à une même droite KN parallèle à SB. Les points K, T, Q, O, sont, également, sur une même droite, KO parallèle à l’arête SC. Il en résulte que la figure AKON est un tétraèdre dont la base est parallèle à celle du tétraèdre primitif ASCB (632), qui diffère d’autant moins de ce tétraèdre que la division SK est plus petite, et qui coïncide avec lui à la limite, lorsque n croit indéfiniment, puisque, dans cette hypothèse, SK tend vers zéro. Mais le volume fixe ASCB et les volumes AKON et S qui varient avec/* satisfont évidemment, pour toute valeur de l’entier n, aux inégalités

AKON < S < ASCB.

Donc, puisque AKON a pour limite ASCB, la somme S tend vers cette même limite.

2° Considérons maintenant {fig. 357) deux pyramides triangulaires SABC, S'A'B'C', de bases équivalentes et de même hauteur. Si l’on place les hases ABC, A'B'C', sur un même plan, de façon que les sommets S et S' soient d’un même côté de ce plan, ces sommets seront dans un plan parallèle au plan commun des bases. Si l’on opère alors sur la première pyramide SABC comme il a été dit ci-dessus, en menant des plans parallèles au plan commun des bases par les points de division de l’arête SA supposée divisée en n parties égales, ces plans partageront aussi SA' en n segments égaux entre eux et, à chaque tranche de SABC et au prisme qui y est inscrit, correspondront une tranche de S'A'B'C' et un prisme inscrit dans cette tranche. Mais deux prismes inscrits correspondants, tels que GIIIDOP, G'I'II'D'Q'P', sont équivalents (626); car, leurs hases GUI, G' F IF, sont équi-

GÉOMÉTRIE DANS ^ESPACE

valentes (639), et leurs hauteurs sont, les mêmes puisque les bases supérieures sont dans un même plan aussi bien que les bases inférieures. Donc, la somme des volumes des prismes inscrits dans la pyramide SABC est, quel que f soit l’entier n , égale à la somme des volumes des prismes inscrits dans la pyramide S'A'B'C'; et, comme chacune de

ces sommes a pour limite le volume de la pyramide correspondante lorsque n croît indéfiniment (i°), les volumes de ces pyramides sont égaux (611).

TdÉORÈME.

643. Le volume d’une pyramide a pour mesure le tiers du produit de sa base par sa hauteur .

Fig. 358.

Fig. 359.

i° Soit [fig. 358) la pyramide triangulaire EABG. Par les sommets A et C, menons les droites AD et CF, parallèles à l’arête BE, jusqu’à leurs rencontres D et F avec un plan mené par le sommet E parallèlement à la base ABC de la pyramide. Le polyèdre ABCDEF sera un prisme triangulaire ayant même base et même hauteur que la pyramide proposée.

Si l’on fait passer un plan par les trois sommets D, E, C, le prisme triangulaire ABCDEF se trouve décomposé en trois pyramides triangulaires EABC, EDCA, EDCF. La première est la pyramide donnée. Les deux autres sont équivalentes (642), car elles ont même hauteur et leurs bases sont équivalentes comme moitiés du parallélogramme ACFD. Or, si l’on prend la face DEF pour base de la pyramide EDCF, son sommet est le point C. Cette pyramide a donc même base et même hau¬