LIVRE VI. — LES POLYÈDRES
Le tronc de prisme oblique ABCDEF, somme des deux troncs de prismes droits MNPABC, MNPDEF, a donc pour mesure la somme de leurs mesures, c’est-à-dire
AI) + BE-t-CF\
65^-. En désignant par V, B, (3, h, h' > h", a, a', a" les nombres qui mesurent respectivement le volume d’un tronc de prisme triangulaire, sa base et sa section droite, les hauteurs des sommets de sa base supérieure au-dessus du plan de sa base inférieure et ses arêtes latérales, on a les formules
Application.
G55. La base B cV un parallélépipède droit tronqué est égale à 36 mètres carrés ; ses arêtes latérales sont égales à 5 mètres, 3 mètres , 7 mètres et 9 mètres ; on demande de calculer son volume.
Soit [fig. 365) ABCDEFGH le parallél ipipède tronqué proposé. Menons le plan diagonal ACGE qui le partage en deux
Fig. 3C5.
troncs de prismes triangulaires droits, dont les bases sont égales entre elles et à la moitié du parallélogramme ABCD. Les volumes de ces deux troncs de prismes étant respective-
GÉOMÉTRIE DANS L'ESPACE
ment, d’après les formules du numéro précédent,
et
iS
le volume cherché sera
D’une manière générale, si l’on désigne par A et <7, B et b , les arêtes latérales, opposées deux à deux, d’un parallélipipède tronqué quelconque et par S sa section droite, les volumes v et v' des deux prismes triangulaires tronqués qui le composent sont
par suite, son volume V = e-b v' a pour expression
c 2 ( A H- Cl ) -4- ( B -+- b )
Mais, si l’on représente par S la longueurde la droite qui unit les centres des deux bases du tronc, on a
d'où
Le volume d’un parallélipipède tronqué quelconque a donc pour mesure le produit clc sa section droite par la moyenne arithmétique de deux arêtes latérales opposées .
THÉORÈME
Go G. Le volume de tout polyèdre ayant pour bases deux polygones quelconques situés dans des plans parallèles et pour faces latérales des trapèzes ou des triangles est exprimé par la formule
!! (B + ir-Mm,
dans laquelle II désigne la distance des deux j dans parallèles , B la base inférieure du polyèdre . B' la base supérieure, et B" la section équidistante des deux bases.
