LIVRE VI. — LES POLYÈDRES. s
En effet, soient L1M,N,PlQ1 la section équidistante des bases [fig- 366) et S un point pris à volonté dans l’intérieur de cette section. Le polyèdre peut être décomposé en pyramides ayant pour bases ses diverses faces et
Fig. 366.
pour sommet commun le point S. Les volumes des deux pyramides qui
. , u BII B II
reposent sur les bases B et B ont évidemment pour mesures — > — •>
et il reste à évaluer les volumes des pyramides qui reposent sur les faces latérales. Soit donc LMM'L' une quelconque de ces faces, par exemple celle qui répond au côté L,M, du polygone L, M , N, P, ; pour raisonner d’une manière générale, nous supposerons que cette face soit un trapèze (si c’était un triangle, l’un des côtés parallèles LM ou L'M' serait nul). Abaissons du point S la perpendiculaire SO sur le plan de la face LMM'L'; dans ce plan, menons par le point O la perpendiculaire LOI, à L,M,; la droite SI, sera perpendiculaire à L, M, ; enfin menons l'K, perpendiculaire au plan de la section L, M, N, P, Q, : l'K, sera la moitié de la distance lï des bases du polyèdre. Cela posé, la pyramide S L M M'L'a pour mesure
L, M(.2l'I, . l- SO.
Or, le produit l'ï, .SO peut être remplacé par le produit SI,. l'K,, qui, comme lui, exprime le double de l’aire du triangle l'I, S ; on a donc, pour le volume de la pyramide indiquée,
Ii»L,M,.SI1=ïï.4SL,M1.
Par suite, pour avoir la somme des volumes des pyramides qui reposent sur les faces latérales du polyèdre, il faut multiplier par ^ quatre fois la somme des triangles qui ont S pour sommet commun et pour bases les côtés delà section L, M, N, P, Q, , c’est-à-dire multiplier par — quatre fois
l’aire B" de cette section.
GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE
Application.
657. Les amas de pierres, les fossés ou cuvettes établis de distance en distance le long des routes, les tombereaux, etc., sont terminés haut et bas par deux rectangles parallèles LMNP, L'M'N'P', et latéralement par quatre trapèzes LMM'L',MNN'M', NPP'N', PLL'P'. Exprimons le volume d'un pareil corps en fonction de la distance h des plans des deux rectangles et, des dimensions a et b, a' et b', de ces rectangles ( fig . 067).
ri£. 367.
P' Nr
La section L, M, P, Q, , équidistante des bases, est un rectangle dont les
dimensions, L, M,, L, P,, sont évidemment égales à - (a -4- a') et - (b -4- b').
Le volume du corps est donc, en vertu du théorème précédent, donné par la formule
^ [ab -h a1 b' -4- ( a -4- a') (b H- />')],
que l’on peut écrire de la manière suivante :
bh b' h ,
— [in -4- a ) h - ; — 2 a -4- a ) .
Pour b' — o, le volume se réduit à
bh
— (2tf h- a ),
et le corps a la forme qu’on donne dans les parcs d’artillerie aux piles de boulets sphériques rectangulaires.
