LIVRE VI

LES TOLYÈDRES

ou ce plan est perpendiculaire au milieu de la droite AA'.

Deux figures sont symétriques par rapport à un centre, à un axe ou à un plan, lorsque leurs points sont deux à deux symétriques par rapport à ce centre, à cet axe ou à ce plan. Les points symétriques des deux figures sont dits homologues.

Fig. 368. Fig. 3 69. Fig. 370.

Deux figures symétriques, par rapport à un axe , sont égales. Car une rotation de 180 degrés autour de l’axe, imprimée à l’une des deux figures, amène évidemment celte figure sur l’autre.

La symétrie par rapport à un axe n’offre donc rien de particulier. Aussi, dans la suite de ce paragraphe, ne sera-t-il question que de la symétrie relative à un point ou à un plan.

THÉORÈME

G59. Deux figures F' et F", symétriques d'une même figure F par rapport à deux centres différents 0' et 0", sont égales

[fis- 37 1 ) (')•

Fig. 371.

Soient A un point quelconque de la figure F, A' son homologue dans la figure F' et A" son homologue dans la figure F". 0' étant le milieu de AA' elO'Me milieu de AA", la droite A' A"

(*) Bravais, Journal de Mathématiques, t. XIV.

GÉOMÉTRIE DAIS' S L’ESPACE

est parallèle à O'O" et égale à 20' 0". La figure F" nVst donc que la figure F' transportée parallèlement à la direction O'O", d’une quantité égale à 2 0' O".

6G0. La position du centre de symétrie n’influe ni sur la forme ni même sur Y orientation de la figure symétrique d’une figure donnée.

THÉORÈME

G61. Si deux figures F et F" sont symétriques par rapport à un plan P, on peut toujours les placer de telle sorte quelles soient symétriques par l'apport à un centre 0' pris à volonté dans ce plan ; et réciproquement, si deux figures F et F 'sont symétriques par rapport à un centre 0', on peut toujours les placer de telle sotte qu elles soient symétriques par rapport à un plan quelconque P passant par ce centre ifig^'J1) (’)•

11 suffit de faire tourner la figure F" dans le premier cas, la figure F' dans le second, de 180 degrés autour de la perpendiculaire O'CB élevée en 0' au plan P.

En effet, considérons une figure F, un plan P et un point quelconque 0' de ce plan; soient F' la figure symétrique de F par rapport au point 0', et F" la figure symétrique de F par rapport au plan P. Le théorème direct et sa réciproque seront démontrés à la fois, si l’on fait voir que les figures F' et F" sont symétriques par rapport à la perpendiculaire 0' B élevée en 0' au plan P (658). Or, soient A, A', À" trois points homologues des figures F, F', F", et 0" le point où la droite AA" rencontre le plan P. 0' élant le milieu de AA' et 0" le milieu de AA", la droite A' A" est parallèle à O'O" et, par suite, perpendiculaire sur O'B. D’ailleurs O'B, élant menée parallèlement à AA" par le milieu de AA', passe par le milieu C de A' A". Donc, enfin, les points A' et A" sont symétriques par rapport à la droite O'B.

(*) Buavais, Journal de Mathématiques, t. XIV.