LIVRE VI

LES POLYÈDRES

IOI

égal à celui que forme le plan AOB au-dessus de ABC, et dans ce plan OAB' construisons le triangle O'A'B' semblable au

Firr.

triangle OAB. En prenant le point O' pour centre de décomposition, on décompose donc le second polyèdre en tétraèdres, qui correspondent à ceux du. premier polyèdre, et il reste seulement à prouver que ces tétraèdres sont semblables deux à deux.

SoitD un quatrième sommet du premier polyèdre, tel que les deux triangles ABC, ABD aient un côté commun et soient situés sur la même face ou sur deux faces adjacentes. Comparons les deux tétraèdres OABD, O'A'B' D'. Les faces OAB, O'A'B' sont semblables comme faces homologues des deux tétraèdres semblables OABC, 0'A'B'C';les faces ABD, A'B'D' le sont aussi comme triangles homologues de deux faces semblables des polyèdres donnés. De plus, si les deux triangles ABC, ABD sont dans un même plan, les deux dièdres OABD, O'A'B'D' sont égaux comme suppléments des angles dièdres égaux OABC, O'A'B' C' ; si les deux triangles ABC, ABD ne sont pas dans un même plan, les deux angles dièdres OABD, O' A'B'D' sont encore égaux comme différences des angles dièdres égaux, DABC et OABC d’une part, D' A' B' C' et O' A' B' C' d’autre part. Dans les deux cas, les tétraèdres OABD, O'A'B' D' sont semblables (679).

La même démonstration s’appliquera de proche en proche. La similitude des deux tétraèdres considérés en dernier lieu permettra toujours de vérifier la similitude des deux tétraèdres suivants.

GÉOMÉTRIE DANS ^ESPACE

ScOLIE.

682. Deux points 0 et 0' rapportés à deux polyèdres semblables sont dits homologues , lorsqu’en joignant l’un d’eux 0 aux sommets consécutifs A, B, G de l’un des polyèdres, et l’autre 0' aux sommets homologues A',B',C' de l’autre polyèdre, on obtient deux tétraèdres OABC, 0' A'B'C' semblables et semblablement disposés par rapport aux deux polyèdres.

Il résulte de la démonstration précédente que deux points homologues quelconques peuvent être pris pour centres de décomposition de deux polyèdres semblables, en tétraèdres semblables et semblablement disposés.

Si le point 0 est extérieur au premier polyèdre, son homologue 0' est aussi extérieur au second polyèdre; il faut alors considérer les deux polyèdres comme composés de tétraèdres additifs et de tétraèdres soustractifs.

Si le point O coïncide avec l’un des sommets A du premier polyèdre, son homologue 0' coïncide avec le sommet A' du second polyèdre, et les diagonales homologues des deux polyèdres, relatives aux sommets A et A', se confondent avec les arêtes latérales de leurs tétraèdres homologues.

683. Deux droites rapportées à deux polyèdres semblables sont dites homologues , lorsque leurs extrémités sont deux à deux des points homologues. Telles sont, par exemple, les diagonales relatives à des sommets homologues.

Le rapport de deux droites homologues quelconques est égal au rapport de similitude des faces homologues des deux polyèdres.

Soient ( fig. 38o) ABCDE, A'B'C'D'E' deux faces homologues quelconques des polyèdres donnés, et FH, F' H' deux droites homologues quelconques. Formons les tétraèdres homologues FABG, F' A' B' G', H ABC, IF A'B'C'. La similitude de ces tétraèdres entraîne celle des tétraèdres FU AG, F'H'A' C'. En elfet, les faces FAC, II AC sont respectivement semblables aux faces F' A'C', H'A'C', et l’angle dièdre FACII, différence > des angles dièdres FACB, IIAGB, est égal à l’angle dièdre