Dans un même cercle ou dans des cercles égaux

i° Deux arcs égaux sont sous-tendus par des cordes égales ;

2° De deux arcs inégaux , le plus grand est sous-tendu parla plus grande corde [Jig> 68).

Fig. 68.

Soient O et I deux cercles égaux :

i° Si Tare AMB est égal à l’arc CND, les cordes AB et CD seront égales. En effet, portons le cercle I sur le cercle 0 de nanière que le rayon IC coïncide avec son égal OA, 1 étant en O et C en A. Les circonférences coïncideront, l’arc CND tombera sur son égal AMB, et le point D viendra en B. La corde CD s’appliquera donc sur la corde AB, et, par suite, lui sera égale.

2° Si l’arc AMH est plus grand que l’arc CND, la corde AH sera plus grande que la corde CD. En effet, prenons à partir du point A, sur l’arc AMH, un arc AMB égal à l’arc CND; les cordes AB, CD, seront égales ( i°), et il restera à démontrer que la corde AB est moindre que la corde AH. Or, l’arc AMB étant

R. el de C. - Tr. de Geom. (Ir0 Partie). 4

GÉOMÉTRIE PLANE

moindre que l’arc AMH, le point B tombe entre les points À et II, et l’angle ÀOB est inférieur à l’angle AOH. Par suite, les deux triangles AOB, AOH, ont un angle inégal compris entre deux côtés égaux chacun à chacun, savoir OA commun et OB = OH comme rayons d’un même cercle. Donc (40) le côté AB opposé à l’angle AOB est moindre que le côté AH opposé à l’angle AOH.

100. Du théorème qu’on vient de démontrer et du principe général du n° 7 il suit que :

Réciproquement, dans un même cercle ou dans des cercles égaux, à des cordes égales répondent des arcs égaux , et à une plus grande corde répond un plus grand arc .

Scolie.

101. Nous n’avons considéré dans ce qui précède que des arcs moindres qu’une demi-circonférence (98). Si l’on considérait des arcs plus grands qu’une demi-circonférence, pour la seconde partie du théorème les conclusions seraient inverses : l’arc augmentant, la corde diminuerait au lieu de croître.

THÉORÈME

102. Le diamètre AB, perpendiculaire sur une corde CD, divise cette corde et les deux arcs CBD, CAB, qu’elle sous-tend , chacun en deux parties égales (fig- 69).

En effet, soient O le centre de la circonférence et I le point de rencontre du diamètre AB et de la corde CD. Les rayons OC, OD, étant, par rapporta la perpendiculaire OI, deux obliques égales, s’écartent également du pied de cette perpendiculaire. On a donc Cl == ID. En d’autres termes, la corde CD est divisée