LIVRE VI
En effet, chaque arête appartenant à deux faces et joignant deux sommets, on a
L’élimination de A et de S entre ces équations et la formule d’Euler donne
2(m -h n) — mn
Pour n = 3, cette relation devient
4/72 (3 — ni 5
et l’on ne peut donner alors à m que les valeurs 3, 4 et 5, auxquelles répondent respectivement les valeurs F — 4, F = 8, F — - 20.
Pour n = 4 ou n = 5, on a
nn
4 — ni
ou F =
4 ni
3 ni
On ne peut donner dans les deux cas à m que la valeur 3, et il en résulte F = 6 ou F = 12.
Pour n — 6, on a
et l’on ne peut donner à m aucune valeur. Il en est de même n fortiori pour n > 6 ; ce résultat était d’avance indiqué par le théorème du n°693.
Il n’y a donc que cinq espèces de polyèdres convexes dont toutes les faces aient le même nombre de côtés et tous les angles polyèdres le même nombre d’arêtes : ce sont le tétraèdre, l’octaèdre et l’icosaèdre à faces triangles; l’hexaèdre à faces quadrilatères; le dodécaèdre à faces pentagones.
THÉORÈME
696. L'angle droit étant pris pour unité , la somme des angles de toutes les faces d’un polyèdre convexe est égale a quatre fois le nombre des sommets diminué de 2.
L’angle droit étant l’unité d’angle, on sait que, pour une face quelconque de n côtés, la somme des angles est 2^—4- En désignant par «,/?', n", ... les nombres de côtés des différentes faces, on aura donc pour toutes les faces
[in — 4) ( 2 n' — 4 ) H- ( 2 n" — 4 )
Cette suite contiendra d’ailleurs F termes. La somme cherchée a donc pour expression
2 ( n -h n' -h ri' -H. . .) — 4F.
