CONDITIONS D’ÉGALITÉ ET DE SIMILITUDE DE DEUX POLYÈDRES CONVEXES

LEMME

697. Si, clans un angle polyèdre convexe dont toutes les faces moins une seule demeurent constantes , un ou plusieurs angles dièdres non adjacents à la face qui peut varier augmentent ou diminuent tous à la fois, cette face elle-même augmente ou diminue.

Fig. 38:2.

Soient {fl g. 382) l’angle polyèdre SABCDEF et, dans cet angle, SAB la seule face qui puisse varier. Supposons d’abord qu’un seul angle dièdre SD augmente ou diminue. Menons les plans ASD, BSD. Les deux angles polyèdres SBCD, SADEF ne changent ni de forme ni de grandeur, d’après les conditions de constance imposées à leurs faces et à leurs angles dièdres. Par suite, si l’angle dièdre SD augmente ou diminue, ce ne peut être que par sa partie ASDB; et, comme ce dernier angle dièdre est compris dans l’angle trièdre SABD entre deux faces invariables de grandeur, la face opposée ASB augmente ou diminue (569).

Si plusieurs angles dièdres non adjacents à la face ASB augmentent ou diminuent à la fois, il en sera de même de cette face ; car on peut faire varier isolément, et l’un après l’autre, les angles dièdres considérés et, d’après ce qui précède, chaque changement partiel en produira toujours un de même nature sur la face ASB.

Corollaire.

698. Si, toutes les faces demeurant constantes, certains dièdres d’un angle polyèdre viennent à changer, il est impossible que tous varient dans le même sens, c’est-à-dire qu’il est impossible que tous augmentent ou que tous diminuent.