LIVRE VI. — LES POLYÈDRES

LEMME

699. Dans un angle polyèdre convexe ayant plus de trois faces, toutes les faces demeurant constantes et V ongle polyèdre restant convexe, on suppose que plusieurs angles dièdres ont, les uns augmenté, les autres diminué; si alors, en faisant le tour de l'angle polyèdre , on affecte du signe -+- V arête de charpie angle dièdre augmenté, du signe — V arête de charpie angle dièdre diminué , on trouvera toujours dans le tour entier au moins quatre variations de signes.

Il est impossible qu’il n’y ait que deux variations de signes, c’est-àdire il est impossible qu’à une série de signes -+- succède une série de signes — qui ramène au premier signe h-. En effet, si [fig. 38 2), lesarêtes SA, SF, SE étant affectées du signe h- , les arêtes suivantes SD, SC, SB étaient affectées du signe — , la face ASE qui sépare les deux angles polyèdres SAFE, SEDCBA augmenterait dans l’un et diminuerait dans l’autre (697).

Puisqu’il y a plus de deux variations de signes et qu’on doit fermer le circuit en rejoignant le signe qui a servi de point de départ, il est impossible que le nombre des variations soit impair. Puisque ce nombre est pair et plus grand que 2, il est au moins égal à 4-

THÉORÈME

700. Dans un polyèdre convexe dont toutes les faces sont constantes, les angles dièdres sont aussi constants.

« En effet, supposons, contre l’énoncé ci-dessus., que l’on puisse faire » varier les inclinaisons des faces adjacentes, sansdétruire le polyèdre; » et pour simplifier encore la question, supposons d’abord que l’on puisse » faire varier toutes les inclinaisons à la fois. Les inclinaisons sur certaines » arêtes varieront en plus, les inclinaisons sur d’autres arêtes varieront » en moins; et en comparant deux à deux, relativement aux signes de » leurs variations, les inclinaisons des arêtes qui, dans chaque face, abou- » tissent aux mêmes sommets, on trouvera, en passant successivement » d’une arête à l’autre, plusieurs changements de signes. C’est le nombre » de ces changements que nous allons chercher à déterminer ('). »

Il suit du lemme précédent que chaque angle polyèdre présente sur ses arêtes au moins quatre changements de signes. Le nombre des changements de signes obtenus en considérant tous les angles polyèdres du polyèdre serait donc au moins égal à 4 S. Or il est aisé de voir que cela est impossible.

(l) Caiciîy, Journal de l'École Polytechnique, XVI0 Cahier, p. 96.

GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

Remarquons qu’en faisant le tour de chaque sommet ou en faisant celui du périmètre de chaque face on doit trouver le môme nombre total de variations de signes. En effet, chaque variation de signes autour d’un sommet correspond à deux arêtes de signes différents qui se suivent sur le périmètre d’une môme face, et réciproquement.

Mais, sur un périmètre, le nombre des variations ne peut dépasser le nombre des côtés et ne peut être impair; car, puisqu’on doit revenir au point de départ, chaque variation en entraîne nécessairement une seconde. Chaque face triangulaire ne peut donc fournir plus de deux changements de signes; les quadrilatères et les pentagones ne peuvent en fournir plus de quatre ; de même, les hexagones et les heptagones plus de six, et ainsi de suite. Toutes les faces ou tous les sommets du polyèdre ne pourront donc donner plus de changements de signes qu’il n’y a d’unités dans la somme

Or cette somme est inférieure à 4 S ; car on a (690), d’après la formule (7),

Il faut en conclure qu’il est impossible que les inclinaisons sur les arêtes changent toutes à la fois.

« Si l’on suppose, en second lieu, que, dans le polyèdre donné, non- » seulement les faces, mais encore les inclinaisons sur plusieurs arêtes » restent invariables, et que cependant on puisse, sans détruire le po- » lyèdre, faire varier les inclinaisons sur les arêtes restantes, alors, pour » démontrer l’absurdité de l’hypothèse, il suffira de concevoir la surface » du polyèdre décomposée en autant de portions que les arêtes sur les- » quelles les inclinaisons varient forment de contours différents, et d’ap- » pliquer aux portions, aux arêtes qui les terminent, et aux sommets » compris entre ces arêtes, les mêmes raisonnements que nous avons ap- >■> pliqués, dans l’hvpothèse précédente, aux faces, aux arêtes et aux som- » mets du polyèdre ('). » On y parviendra en s’appuyant encore sur le lemme précédent et sur le scolie du n° 691.

701. Il suit du théorème précédent que deux polyèdres convexes, compris sous un même nombre de faces égales, sont égaux ou symétriques , suivant que les faces égales sont ou non semblablement placées.

702. Il suit encore du théorème précédent que, lorsque deux polyèdres convexes sont compris sous un meme nombre de faces semblables , le

( 1 ) Cauchy, loc. cit.