LIVRE VI

LES POLVÈDRES.

second est semblable au premier ou à un troisième polyèdre symétrique du premier , suivant que les faces semblables sont ou non semblablement placées.

PROBLÈME

703. Chercher le nombre île conditions nécessaires pour déterminer un polyèdre convexe.

i° Le polyèdre est d’une nature déterminée, c’est-à-dire qu’on connaît pour ce polyèdre les nombres A, F, S, t , q, p, h , h', ....

Prenons pour base une des faces du polyèdre. Si elle a n côtés, il faut in — 3 conditions pour la déterminer. Il y a hors de cette base S — n sommets. Pour déterminer un point dans l’espace, il faut trois conditions. On aurait donc en tout “in — 3 h- 3 (S — n), ou 3 S — n — 3 conditions. Mais les sommets qui répondent à une même face sont dans un même plan, et trois points suffisent pour déterminer un plan. Par conséquent, pour tous les sommets d’une même face, en sus des trois premiers, il ne faut réellement que deux conditions. On doit donc diminuer 3 (S — n) de la somme ( n' — 3 ) -4- [n" — 3 ) -+- (n"' — 3 ) h- . . . , en désignant par n\ n", ri", ... les nombres de côtés des F — i faces qui restent en dehors de la base choisie. Le nombre de conditions demandé est donc finalement

3 ( F -+- S — 2 ) — ( n ■+■ ri -h n" rh ri" -h . . . ) ; mais (G88, 689)

n h- ri + «" + «"' -h . . . = aA et F -5- S — 2 = A.

Le nombre cherché se réduit donc à A. Ainsi, le nombre des données nécessaires pour déterminer un polyèdre, dans les conditions indiquées, est égal au nombre de ses arêtes.

« Remarquez cependant que les données dont il s’agit ne doivent pas » être prises au hasard parmi les lignes et les angles qui constituent les n éléments du polyèdre ; car, quoiqu’on eût autant d’équations qued’in- » connues, il pourrait se faire que certaines relations entre les quantités » connues rendissent le problème indéterminé. Ainsi, il semblerait, d’après » le théorème qu’on vient de trouver , que la connaissance des arêtes » seules suffit en général pour déterminer un polyèdre; mais il y a des » cas où cette connaissance n est pas suffisante. Par exemple, étant donné » un prisme non triangulaire quelconque, on pourra former une infinité » d’autres prismes qui auront des arêtes égales et placées de la mêmema- » nière. Car, dès que la base a plus de trois côtés, on peut, en conser- » vant les côtés, changer les angles et donner ainsi à cette base une infî- » ni té de formes différentes ; on peut aussi changer la position de l’arête » longitudinale du prisme par rapport au plan de la base ; enfin, on peut » combiner ces deux changements l’un avec l’autre, et il en résultera K. et ut C. — Tr. de Céorn. (Il0 Partie).

GÉOMÉTRIE DANS L'ESPACE

» toujours un prisme dont les arêtes ou côtés n’auront pas changé. D’où » l’on voit que les arêtes seules ne suffisent pas dans ce cas pour déter- » miner le polyèdre. Les données qu’il convient de prendre sont celles » qui ne laissent aucune indétermination ('). »

*2° La nature du polyèdre n’est pas déterminée, et l’on connaît seulement le nombre de ses sommets.

Prenons trois de ces sommets à volonté en construisant un triangle où il entre trois des éléments donnés. Si l’on considère ce triangle comme base, il y a S — 3 sommets hors de cette base, et la détermination de chacun d’eux exige trois conditions. Le nombre cherché est donc ici 3 -b 3 (S — 3) ou 3 S — 6.

SCOLIE

704. Si un côté et A — i angles déterminent un polyèdre de nature donnée, un autre côté pris à volonté et les mêmes angles déterminent un polyèdre semblable au premier. Donc, pour que deux polyèdres de même nature soient semblables , il faut A — i conditions.

Si les deux polyèdres ne sont pas de nature déterminée, et s’ils ont seulement le même nombre S d’angles polyèdres, il faut 3S — 7 conditions pour qu’ils soient semblables.

RELATION ENTRE L ÉTENDUE d’üNE FIGURE PLANE ET CELLE DE SA