LIVRE VF. — LES POLYÈDRES. Il

pas dans un même plan, sans quoi le théorème ne différerait pas de celui qui a été démontré déjà en Géométrie plane (Appendice du IIIe Livre). Dans notre hypothèse, la projection ab est égale à la portion de l'axe XY comprise entre deux plans M et N menés par A et B perpendiculairement à cet axe, ou bien encore à la portion AD de la parallèle à l’axe menée par le point A jusqu’à la rencontre du plan N. Or le triangle rectangle ADB donne

AD = AB cosa ou «ô = ABcosx.

706. U aire de la projection d'un triangle sur un plan est égale à l’aire de ce triangle multipliée par le cosinus de V angle aigu que forme le plan du triangle avec le plan de projection.

Fie- 385. Fig. 386.

Supposons d’abord que le triangle proposé ABC ait un de ses côtés BC situé dans le plan P de projection [fi g. 385). Si de la projection a du sommet A on mène la perpendiculaire «D sur BC, la droite AD sera, en vertu du théorème des trois perpendiculaires, la hauteur du triangle ABC. Or, le rapport des triangles «BC, ABC, de même baseBC, est égal au rapport des hauteurs a D et AD, c’est-à-dire au cosinus de l’angle aigu AD a qui mesure l’inclinaison des deux plans.

Considérons actuellement un triangle ABC placé d’une manière quelconque par rapport au plan de projection [fig. 386), et menons par le sommet B le plus voisin de ce plan un plan P' qui lui soit parallèle. La projection «Bc du triangle ABC sur le plan P' est égale à celle qu’on obtiendrait en le projetant sur le plan primitif. Or, soient O le point où le côté AC prolongé rencontre le plan P', et a l’angle du plan ABC et du plan de projection; le triangle ABC étant la différence de deux triangles ABO, CBO, qui ont un côté BO dans le plan P', on a

«Bc = «BO — cBO = ABO cosa — CBO cosa = ( ABO — CBO ) cosa = ABC cosa.

GÉOMÉTRIE DANS L ESPACE

Corollaire.

707. Le théorème s'étend à la projection de l'aire d'un polygone plan et meme d'une courbe plane fermée.

Il suffit défaire voir que la proposition a lieu pour un polygone, puisqu’une courbe n’est qu’un polygone d’un nombre infini de côtés infiniment petits.

Or, soient T, T', T", ... les aires des triangles qui composent le polygone plan P et £, t' , t'\ . . . les triangles correspondants du polygone p, qui est la projection de P ; chacun des triangles de la deuxième série est évidemment la projection du triangle correspondant de la première, et si l’on appelle a l’inclinaison du plan du polygone P sur le plan de projection, on a

t = T cos a, t 1 = T' COS a, l" — T" COS a, . . . , d’où, en ajoutant,

t -+ t' -+- 1" -h ... = ( T +T' + T" + ... ) cos a ou p — P cos a.