LIVRE VI

suite, le point M est situé entre A et B. D’ailleurs, en menant CMD

MA

parallèle au plan P, on voit que le rapport — est égal, en valeur ab-

. , AG z ■

solue' à m = o

5 on a donc

S MA a “ MB

d’où

ci- ce —j— b g

Dans le second cas [fîg. 388), le rapport — ^ est positif et, par suite, le point M est situé sur l’un des prolongements de AB. On a alors

g INt A a — z z — n

a MB b — z °U z — b ’

n cr. h- b g

C’est la même formule que dans le premier cas. a-t-g sora le coefficient attribué au point M.

709. Nous avons supposé jusqu’ici que les points A, B, M étaient situés d’un même côté du plan P ; mais cette restriction n’est pas nécessaire, et la formule (i) subsiste pour toutes les dispositions possibles de la figure, pourvu qu’on regarde les nombres ô, z, qui mesurent les projetantes, comme positifs pour les points situés d’un côté du plan P, et comme négatifs pour les points situés du côté opposé.

En effet, les points A, B, M, étant situés d’une manière quelconque par rapport au plan P, menons un plan P' parallèle à P et à une distance h assez grande pour que les trois points A, B,M, soient au-dessus du plan P’. Alors, si a' , b\ z' mesurent les projetantes relatives à ce plan P', on aura (708)

En retranchant de cette égalité l’identité

( a -f- g ) h = Zta-f-Zîg,

on obtient la relation

d’où

(a h- g) (z' — h) — ( a ' — h) a. -f- [b' — h) g. Mais, en ayant égard aux signes des projetantes, on a toujours

Il8 GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE.

a , b , z étant les projetantes relatives au plan P. Donc la formule

subsiste dans tous les cas.

710. Cela posé, soient A, B, C, D , . . . , L autant de points qu’on voudra, situés d’une manière quelconque dans l’espace ; désignons par a, g, y, £,..., I les coefficients correspondants, et para, b , c, r/,..., I les nombres positifs ou négatifs qui mesurent les droites projetant obliquement ou orthogonalement les points A, B, C, D,..., L, sur un plan quelconque P.

Sur la droite AB [fig. 38g) prenons le point M, tel, que

M, A g mTb “ ~â°

La projetante s, de ce point sera, en grandeur et en signe,

rta+ /; g

Menons M,C et prenons sur cette droite le point M, tel, quo

La projetante zï de ce point sera

En menant de même M2D et prenant sur cette droite un point M, tel, que

M M , rj

et continuant ainsi jusqu’au dernier point L, on obtiendra finalement un point M dont la projetantes aura pour expression

ht

cy