La formule (2), qu’on peut écrire

en désignant en général par la notation la la somme de tous les coefficients et par 2 a a la somme de tous les produits «a, 66, . . l\ exprime que la somme des produits obtenus en multipliant la projetante de chaque point par son coefficient est égale au produit de la projetante du centre des distances proportionnelles par la somme des coefficients.

Pour que z soit nul, il faut et il suffit que 2«a le soit, car on suppose expressément que la somme 2a des coefficients donnés est différente de zéro. Donc, pour qu un plan passe parle centre des distances proportionnelles, il faut et il suffit que la somme des produits obtenus en multipliant chaque projetante relative à ce plan par le coefficient correspondant soit égale à zéro . Cette condition se réduit à la — o, lorsqu’il s’agit du centre des moyennes distances.

712. Dans le cas où tous les points donnés A, B, C, ..., L sont dans un même plan Q, le centre M est aussi dans ce plan. Si l’on prend alors pour direction des projetantes une parallèle au plan Q, tous les pieds des projetantes seront situés sur l’intersection XY du plan Q et du plan P de projection ; cela revient donc à projeter sur une droite quelconque XY du plan Q.

713. Soient A,, A2, ..., B,, B2,... deux groupes de points; M le centre des distances proportionnelles du premier groupe, et Z le centre des distances proportionnelles du système formé par tous les points des deux groupes.

Appelons a,, a2, ..., (3,, (32,... les coefficients, an a2, ..., 6,, 62)... les projetantes des points donnés, et désignons par m et par z les proje-

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tantes de M et de Z. On aura, par la formule (2),

m 2a = 2<?a, z( 2 a -h 2(3) = 2aa ■+■ d’où, en posant 2a = p,

Le point Z est donc le centre des distances proportionnelles des points M, B(, B2, quand on donne à M un coefficient égal à p..

Ainsi, dans la recherche du centre des distances proportionnelles d'un système de points, on peut remplacer plusieurs de ces points par leur centre particulier, pourvu cju’on donne à ce centre un coej/icient égal à la somme des coefficients des points correspondants .

Inversement, on peut remplacer un point par plusieurs autres, dont il est le centre , et dont la somme des coefficients est égale à son coefficient.