GA

est sur la médiane AI, au tiers de sa longueur à partir de la base, etc.

716. Un polygone ABCDE étant donné {f/g. 392), si on le décompose en triangles, enjoignant tous scs sommets à un point O pris dans son plan,

Fig. 392.

et que l’on cherche le centre G des distances proportionnelles des centres de gravité G,, G2, G3,G4,G5 de ces triangles, en leur attribuant des coefficients proportionnels aux aires des triangles correspondants, on aura ce qu’on appelle le centre de gravité du polygone. Si le point O est pris à l’intérieur du polygone, tous les triangles sont additifs, et l’on donne à tous les coefficients le signe -h; si le point O est prisa l’extérieur du polygone, il y a des triangles additifs et des triangles soustractifs, et l’on donne pour coefficients aux centres de gravité des triangles additifs les aires de ces triangles précédées du signe 4-, et aux centres de gravité des triangles soustractifs les aires de ces triangles précédées du signe — .

Pour légitimer cette définition, il faut prouver que la position du centre de gravité G du polygone est indépendante de la position qu’occupe le point O dans son plan. A cet effet, projetons la figure sur un plan quelconque P, en donnant aux projetantes une direction perpendiculaire au plan ABCDE. Soient g , gn g2, g3, gv gh les projetantes des points G, G,, Gj, G3, G4, G., et 7,7,, 72, 73, 74, 75 les coefficients correspondants, c’est-à-dire les aires du polygone ABCDE et des triangles OAB, OBC,OCD, ODE, OEA, prises avec les signes convenables.

GÉOMÉTRIE DANS L'ESPACE

La formule (3) donnant

nr b l

cr ’ b 4

7 .g représente le volume du tronc de prisme droit dont ABCDE est la base. En effet gv projetante du point Gt, est égal au tiers des projetantes des points O, A et B, puisque gx est le centre des moyennes distances des trois sommets du triangle OAB. Donc 7,. g", représente (653) le volume du tronc du prismedroit dont OAB est la base. De même, les produits 72 . g2 , ...

représentent les volumes des troncs de prisme construits sur OBC, OCD,.... D’ailleurs, comme les facteurs 7,, y2, 73,... sont positifs ou négatifs, suivant que les triangles correspondants sont additifs ou soustractifs, on voit que les produitS7,.grl, 7 2.g2, ... ont naturellement le signe + oule signe — , suivant que les troncs de prisme qu’ils représentent sont additifs ou soustractifs. Donc, enfin, le second membre de la relation précédente exprime la mesure du volume du tronc de prisme construit sur le polygone ABCDE; et, en désignant ce volume par Y, on a

y .g = V ou g = — •

La distance du point G à un plan quelconque P, comptée perpendiculairement au plan ABCDE, est donc indépendante de la position que le point O occupe dans le plan du polygone.

717. Cherchons, par exemple, le centre de gravité d’un trapèze ABCD {fig- 393)-

Fig. 3g3.

D’après le théorème précédent, le point G est le centre des distances proportionnelles des centres de gravité des triangles ABD, BDC, ces points ayant des coefficients proportionnels aux aires de ces triangles, c’est-àdire à leurs bases AB et DC, puisqu’ils ont même hauteur, ou à 3 AI et 3KC, les points I et K étant les milieux de AB et de DC. Mais (713) on peut remplacer le centre de gravité du triangle ABD par le système des trois points A, B, D, affectés chacun d’un coefficient égal à AI, et le centre de gravité du triangle BDC par le système des trois points B, D, C, affectés chacun d’un coefficient égal à KG. On a donc en somme à prendre le centre des distances proportionnelles des quatre points A, B, C, D, affectés respectivement de coefficients égaux à AI, AI -t- KG, KC, AI h- KC.