MÉTHODE FONDÉE SUR LA PROJECTION CENTRALE

725. Quand deux figures planes sont la perspective (586) l’une de l’autre, certaines propriétés de la première figure conviennent encore à la seconde; on qualifie de projectives les propriétés qui se conservent ainsi en projection.

Toutes les propriétés descriptives sont projectives; car, si plusieurs points sont en ligne droite, leurs projections sont en ligne droite, et, quand plusieurs droites concourent en un même point, leurs projections passent par la projection de ce point.

11 n’en est pas de même des relations métriques. Quelques-unes, comme la proportion harmonique, sont projectives; mais la plupart, même les plus simples, ne le sont pas. Ainsi, l’égalité entre les deux segments d’une ligne droite n’est projective que dans le cas très-particulier où il y a parallélisme, soit entre les projetantes, soit entre la droite considérée et sa projection.

Pour démontrer sur une figure donnée une propriété (pie Von sait être projective, il suffit de prouver (pic la propriété a lieu /mur l'une quelconque des projections de cette figure. L’application de ce principe évident constitue un moyen de recherche connu sous le nom de méthode par projection, et qui est de beaucoup le plus fécond parmi les procédés qui reposent sur l’intervention de la Géométrie de l’espace dans les questions de Géométrie plane.

GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

Toutefois, comme on 11e fait ainsi que ramener un problème à un autre, il importe de choisir le centre et le plan de projection, de façon que la nouvelle figure offre des circonstances plus propres à la recherche qu’on a en vue. Pour obtenir une projection plus simple que la figure proposée, on projette ordinairement celle-ci (le telle sorte qu’un de ses \ points ou une de ses droites passe à l’infini dans la projection. Il suffît ! évidemment pour cela que le plan de projection soit parallèle, dans le premier cas à la projetante du point considéré, et dans le second cas au j plan projetant de la droite qu’on veut rejeter à l’infini. C’est ainsi qu^/j i quadrilatère complet donne un parallélogramme, quand on projette sur un plan parallèle à celui qui passe par le centre S de projection et par l’une de ses trois diagonales ; et même, comme l’un des angles de ce pa- j rallélogramme est égal à celui sous lequel on voit du point S la diagonale ! considérée, on peut, par un choix convenable du centre S, donner au ; parallélogramme obtenu un angle de telle grandeur qu’on voudra (entre zéro et 180 degrés) .

726. Nous allons appliquer la méthode par projection à trois théorèmes, déjà démontrés d’une autre manière (315, 326, 327).

i° Dans un quadrilatère complet ABCDEF, chaque diagonale AC est divisée harmoniquement par les deux autres BD et EF {fig. 206). En projetant de façon à rejeter la projection de EF à l’infini, on obtient un parallélogramme abcd dans lequel la propriété énoncée est évidente; car la droite ac, étant rencontrée par bd en son milieu et par la troisième diagonale à l’infini, se trouve divisée harmoniquement (333).

20 Quand deux triangles ABC, A'B'C' sont tels que leurs côtés homologues se coupent deux à deux en trois points a, (3, y, situés en ligne droite , les droites qui joignent les sommets homologues concourent en un meme point O [fig. 21 j). En projetant la figure de façon que la projection de la droite a(3y passe à l’infini, on est ramené à démontrer la même propriété pour deux triangles abc , a'b'c', ayant leurs côtés homologues parallèles; or, on sait que deux triangles de ce genre sont homothétiques (361 ).

3° Quand deux triangles ABC, A'B'C' sont tels que les droites qui joignent leurs sommets homologues concourent en un même point O, les côtés homologues se coupent deux a deux en trois points a, (3, 7, situés en ligne droite [fig. 211). En projetant la figure de façon que la droite qui joint les deux points a et [3 ait sa projection à l’infini, on obtient deux triangles abc, a'b'c ', qui, comme les premiers, ont leurs sommets homologues situés sur des rayons issus d’un même point o (projection de 0), mais qui ont en outre deux couples cb et c' b', ca et c'a' de côtés homologues parallèles ; il suffit alors de prouver le parallélisme de ab et de a' b'.