CD

— sinCSD, ....

Or, quand on substituera aux facteurs linéaires AB, CD, ... les valeurs ci-dessus, les quantités a, b, . . . disparaîtront en vertu de la première condition, et il en sera de môme des quantités /;, q, . . ., en vertu de la deuxième hypothèse. Il ne restera donc qu’une fraction qui se déduira de la proposée en y remplaçant chaque facteur AB, CD, . . . par le sinus de l’angle sous lequel on voit du point S chaque segment correspondant AB, CD, .... La valeur de la fraction considérée ne dépend donc que des valeurs des angles des projetantes, et nullement de la position du plan de la figure ABCD. . . . , do sorte que la fraction composée de la même manière avec les segments homologues A'B', G'D', ... de la figure A'B'C'D', . . . aura la môme valeur.

Cette proposition contient évidemment comme cas particulier celle du n° 320 , car l’expression

CA . DA CA.DB CB * DB °Ll CB. DA

R. et DU C. — Tr. de Gcom. (IIe Partie). y

GÉOMÉTRIE DANS l/ESPACE.

remplit les conditions prescrites dans la règle précédente. On retrouve ainsi la projectivité du rapport anharmonique de quatre points en ligne droite, ainsi que l’expression

sin CSA # sin PSA

sin CSB ’ sin L)SB

du rapport anharmonique d’un faisceau de quatre droites SA, SB, SC, SD, situées dans un même plan, qui ne dépend que des angles de ces droites, et qui n’exige pas la considération d’une transversale auxiliaire.

Ajoutons que le rapport anharmonique de quatre plans A, B, C, D, passant par une même droite, est susceptible de l’expression analogue

sin CA . sin DA

sinCB sinDB

dans laquelle la notation CA représente l’angle des plans C et A. Cette remarque résulte de ce que le rapport anharmonique d’un faisceau de quatre plans est égal à celui du faisceau des quatre droites suivant lesquelles ces plans sont coupés par un plan perpendiculaire à leur arête commune.

FIGURES HOMOLOGIQUES.

728. A la méthode par projection se rattache directement la théorie des figures homologiques qui est due à Poncelet, et qui se recommande à la fois par le rôle considérable qu’elle joue en Géométrie pure, et par l’heureux parti qu’on peut en tirer en Géométrie descriptive.

On dit que deux figures situées dans un même plan sont homologiques , quand elles se correspondent point par point et droite par droite, de telle sorte que deux points homologues quelconques soient en ligue droite avec un point fixe, et que deux droites homologues quelconques se coupent sur une droite fixe . Le point fixe prend le nom de centre d'homologie, et la droite fixe celui d 'axe d'homologie.

Des deux dernières conditions énoncées dans la définition, il suffit que l’une soit satisfaite pour que l’autre soit remplie; ainsi :

Deux figures sont homologiques, si elles se correspondent point par point et droite par droite, de façon que deux points homologues quelconques soient en ligne droite avec un point fixe.

Deux figures sont homologiques, si elles se correspondent point par point et droite par droite , de façon que deux droites homologues quelconques se coupent sur une droite fixe.