LIVRE VI

LES POLYÈDRES

Il suffît, en effet, de prouver que, si (3 est le point de concours d’un premier couple (AC, A'C') de droites homologues (fig. i\ i), et 7 le point de concours d’un second couple (AB, A'B'), le point de concours a d’un troisième couple quelconque ( BC, B'C') est situé sur la droite (3y. Or cela résulte du théorème démontré aux nos 326 , etc.

11 suffit, en effet, de prouver que, si O est le point d’intersection des droites AA', BB', qui joignent deux premiers couples (A, A') (B, B') de points homologues, la droite CC' qui unit un troisième couple quelconque (C, C') passe par O. Or cela résulte du théorème démontré aux nos 327 , etc.

C’est en projetant sur un plan quelconque P deux figures homothétiques situées dans un autre plan Q, que Poncelet ( Traité des propriétés projectives, Section III, Chapitre I) est arrivé à la notion des figures homologiques. Il est évident, en effet, que dans les deux nouvelles figures la droite qui joint deux points homologues quelconques passe par la perspective du centre de similitude des figures primitives , et que deux droites homologues quelconques provenant de la perspective de deux droites parallèles ont leur point de concours (588) sur la ligne de fuite du plan Q.

729. La transformée homologique F' d’une figure F est déterminée (J/g. 396) dès qu’on donne, outre ce centre O et l’axe X d’homologie, le point a', homologue d’un premier point a de la figure F ; car, pour obtenir l'homologue ni d'un point quelconque ni de la figure F, il suffit alors de déterminer le point s où la droite am coupe l’axe X d’homologie, et de prendre l’intersection né du rayon O m avec la droite a' z homologue de «e.

Fift. 396.

Souvent, le centre ou l’axe d’homologie sont hors des limites de la feuille de dessin, et il faut savoir trouver l’homologue m' d’un point quelconque m de la première figure en n’employant que le centre d’homo-

GÉOMÉTRIE DANS l’kSPACE.

logie O et deux couples de droites correspondantes, ou bien que l’axe d’homologie et deux couples de points correspondants. Voici la marche qu’on suit.

i° Soient [fg. 897) O le centre d’homologie, et (ap, a' //), [nq, a'</') deux couples de droites homologues. A l’aide de deux rayons quelconques O Ob' , O cc\ menés par O, on déterminera un troisième couple ( bc , b'c') de droites homologues; le point g commun à am et à bc aura pour homologue le point g' commun à b'c' et au rayon O g, et a' g1 homologue de ag rencontrera O m au point cherché nï .

20 Soient [Jîg. 398) X l’axe d'homologie, et (a, a') [b, b') deux couples de points correspondants. En joignant au point a' le point a où a ni coupe l’axe d’homologie, on aura l’homologue de la droite am ; on obtiendra de même l’homologue //(3 de la droite bin ; l’homologue m' du point m sera donc le point commun à a' a et à b'[ 3.

Nous devons faire remarquer que toutes ces constructions n’exigent que l’emploi de la règle.

730. 11 est évident : i° que toute droite passant par le centre d’homologie se correspond à elle-même; i° que le centre d'homologie coïncide avec son homologue, et qu’il partage cette propriété avec chacun des points de l’axe d’homologie.

Puisque deux droites homologues coupent l’axe d’homologie au même point, à la droite de l’infini de la première figure F doit correspondre dans la seconde figure F' une droite .)' parallèle à l’axe d’homologie; et de même, à la droite de l’infini de la figure F' répond dans la figure F une droite I parallèle à l’axe X; la droite 1 prend le nom de droite limite du la figure F, et la droite J' celui de droite limite delà figure F'.

Rien de plus simple que de construire la figure F' quand on connaît la