LIVRE VI

LES rOLYÈDRES.

ligure F, sa droite limite I ainsi que le centre O et l’axe X d’homologie; m étant [fig. 399) un point quelconque de F, on mènera par m une

Fig- ‘I99.

droite quelconque im\ on joindra le centre O au point i où cette droite coupe I, et par le point z où cette même droite coupe X on mènera la parallèle à O/; cette parallèle, qui est évidemment l’homologue de la droite zmi, rencontrera le rayon O m au point demandé m On lit immédiatement sur la figure la relation

O m' O m m' ni

iz ini z ni 5

d’où l'on déduit les deux formules

, . wO , A me

(Jm — iz — ri mni — Om — j

nu nu

qui nous seront utiles plus tard. La seconde de ces formules a été donnée, en 1704, par le géomètre belge Le Poivre qui, comme de la Ilire et Newton, avait étudié quelques cas particuliers de la transformation homologique, bien avant que Poncelet eût créé la théorie complète de ces j figures.

731. Quand deux figures sont homologiques : 1 0 le rapport an harmonique de quatre points en ligne droite, a , h, e, d, est égal au rapport anharmonique des quatre points homologues a' , //, c , d' ; car ces rapports sont égaux l’un et l’autre à celui du faisceau O aa! , O bb' , O ce', O dd’\ i° le rapport anharmonique d’un faisceau SA, SB, SC, SD de quatre droites est égal au rapport anharmonique du faisceau formé par les quatre droites homologues S'A', S'B', S'C',S'D'; car les rayons homologues des deux faisceaux se croisant sur l’axe d’homologie, les rapports anharmoniques considérés sont égaux à celui de la section commune faite par l’axe d’homologie.

732. Considérons deux figures homologiques; soient [fig. 3yG ) O le centre et X l’a::e d’homologie, (a, a') et (/«, m') deux couples de points

I 34 GÉOMÉTRIE BANS l’eSI’ACE.

homologues, p et a les poinls où les rayons O mm' et O an' coupent l’axe X, et s le point de concours de am et de a' ni'. Le faisceau (sO, sa, sX, sa1) étant coupé par les deux transversales Omni', Oaa' , on a

m O ni' O a? O a' O ni u ni y a u. a' la

Le rapport anharmonique (O umm') a donc une valeur constante ; on donne à cette constante, que nous désignerons par X, le nom de coefficient d’homologie.

La réciproque de cette proposition est vraie, et elle conduit à une nouvelle définition des figures homologiques :

Etant donnés dans un plan un point ffixc O cl une droite fixe X 396), si sur chaque rayon 0 y on prend deux points m et ni' tels que le rapport anharmonique {0\unm') ait une valeur constante X, les points m et m' décrivent deux figures homologiques.

En effet, par la définition même, deux points homologues quelconques m et m' sont en ligne droite avec le point fixe O; il suffit donc de prouver que, si le point ni décrit une droite as, le point ni' décrit à son tour une droite coupant l’axe X au même point £ que la première. Or, menons par le point O une droite quelconque, et désignons par a, a, «' les points où elle rencontre les droites sm, eX, sm' : le faisceau (eO, sm , sX, sm') étant coupé par les deux transversales O y, O a, les rapports anharmoniques (O y- mm') (O ccaa') seront égaux; le second aura donc comme le premier la valeur X; donc le point a', qui est situé sur sm', sera la position que prend m' quand m vient en a.

La constante X est égale au rapport des distances de la droite limite 1 au centre et à l’axe d’homologie . Car, en désignant par c et 7 les projections orthogonales du centre O sur les droites I et X, et appliquant le théorème précédent au système formé par les quatre points O, 7, c et c , le dernier étant à l’infini, on a

fO ®'0 „ rO .

— : — — = a, ou — — a.

c 7 co 7 c 7

On voit de même que le rapport des distances de la droite limite J' au centre et à l’axe d’homologie est égal à -•

Quand la constante X est égale à — 1 , les deux droites limites coïncident avec la droite unique qui est équidistante du centre et de l’axe d’homologie ; ce genre particulier d’homologie prend le nom d 'homologie harmonique.

LES POLYÈDRES

LIVIIE VI. —

Quand l’axe d’homologie est à l’infini, le rapport enharmonique (Ogmm') se réduit à —7“ 5 et la relation

mO nFÜ ~

montre que Y homologie devient homothètie ; le point O est le centre de similitude, et 1 est le rapport de similitude.

Enfin, si c’est au contraire le centre d’homologie qui est à l’infini, le

rapport anharmonique (O y. mm') se réduit à et la relation

montre que la seconde figure résulte de la première en dilatant dans un rapport constant les ordonnées abaissées de ses divers points sur l’axe fixe X dans une direction donnée; quelques géomètres donnent à ce genre d’homologie, qui se présente fréquemment, le nom & affinité.

733. Nous terminerons par un théorème très important tant au point de vue théorique qu’au point de vue des applications; d’une part, il montre la concordance entre l’homologie et la perspective; d’autre part, il intervient fort utilement, en géométrie descriptive, pour la solution du problème des rabattements et des questions relatives aux sections planes des prismes et des pyramides, des cônes et des cylindres.

Quand deux figures planes F et F' sont en perspective, leurs projections sur un plan quelconque II, à l'aide d’un centre de projection quelconque m, sont deux figures homologiques ; le centre d’homologie est la projection 0 du point de vue V, et l’axe d’ homologie est la projection If de l’intersection LLt des plans P et P' des deux figures .

La démonstration est presque intuitive :

En elfet : d’abord, à chaque point m de la figure / répond évidemment un point unique m do la figure/, et la droite mm' passe par 0 puisque les points correspondants M et M' des figures F et F' sont en ligne droite avec V. En second lieu, à une droite quelconque d de la figure v/ répond évidemment une droite et une seule d! de la figure/', et le point de concours de d et de cl' est sur If puisque les droites correspondantes D et D' des figures F et F' se croisent sur LL!.

La réciproque exige plus d’attention :

Deux figures homologiques f et fi peuvent, d’une infinité de manières , être considérées comme la projection sur leur plan H de deux figures planes F et F' qui so/it en perspective (fig. 400).

I 36 GÉOMÉTRIE DANS l/ESPACE.

En effet, soit m un point pris à volonté dans l’espace, et o le centre d'homologie de /et de/'; dans le plan Q déterminé par w et par l’axe d’homologie ll\ des figures/ et/', choisissons arbitrairement une droite LLi ; imaginons par cette droite deux plans P et P' et appelons G et G' les points où ces plans coupent la droite wo. Enfin, désignons respectivement par F et F' les figures qu’on obtient en projetant, du point to comme centre, les figures/ et/', la première sur le plan P, la seconde sur le plan P'. Tout se réduit à démontrer que les figures F et F' sont

lig. 4°°-

en perspective; en d’autres termes, si M et M'sont les points de F et F' situés sur les projetantes œm, wm' de deux points homologues quelconques m et m' de / et de /', il suffit de prouver que la droite MM' passe par un point fixe. Or, soit (jl le point où mm' coupe //1? fjq le point oii coy. coupe LLj et I et V les points où MM' rencontre wp. et coo. Le rapport anharmonique de la division \xomm' est constant et égal au rapport d’homologie des figures/ et/'; mais ce rapport anharmonique est égal à celui de la division IYMM' et, par suite, égal aussi à celui do la division wVGG' qu’on obtient en projetant la précédente du point \xl sur ou. D’ailleurs, les points w, G et G' sont fixes; donc il en est de même du point Y. c.q.f.d.

Un cas particulier intéressant est celui où F et F' sont deux positions d’une même figure qui tourne autour d’une droite de son plan; dans ce cas, F et F' sont, en effet, en perspective, le point de vue Y étant à l’infini dans la direction perpendiculaire au plan bissecteur du dièdre formé par les plans de F et de F'. Enfin, si l’on choisit alors pour plan de projection le plan de la figure F', /' ne différera pas de F'; ce qui montre que la projection f d’une figure F et son rabattement F' sont homologiques, et inversement.