LIVRE VII. — LES CORPS RONDS

ce que À'C' vienne, en restant sur la surface cylindrique, se confondre avec AC. Cela étant, soit BB' une courbe quelconque tracée sur la surface cylindrique; la sécante BB', qui : unit les points B et B' où la courbe rencontre les génératrices | AC et A'C', reste constamment dans le plan variable ACA'C';

| d’ailleurs, cette sécante devient la tangente BN à la courbe BB', lorsque la génératrice mobile A'C/ vient se confondre avec AC, c’est-à-dire lorsque le plan variable ACA'C' atteint sa position limite; donc ce plan limite contient la tangente BN. Ainsi, le plan limite considéré renferme les tangentes à toutes les com bes que l’on peut tracer sur la surface, aux points où ces courbes rencontrent la génératrice AC; on lui donne le nom de plan tangent suivant la génératrice AC.

La génératrice AC, et la tangente à une courbe quelconque tracée sur la surface au point où cette courbe rencontre AC, suffisent pour déterminer le plan tangentsuivant celte génératrice. Si l’on choisit en particulier la tangente AM à la section droite AA', on voit que le plan tangent est perpendiculaire au plan déterminé par l'axe et par la génératrice de contact ; en effet, le plan tangent renferme la droite AM qui, étant à angle droit sur AO et sur AC, est perpendiculaire à leur plan CAOX.

738. On appelle cylindre de révolution le corps compris entre une surface cylindrique et deux plans perpendiculaires à l’axe de celte surface, ou, en d’autres termes, la figure engendrée par la rotation d’un rectangle AA'O'O autour d’un do ses côtés 00' {Jig- 4°4)«

Fig. 4o/|. Fig. /|03.

La surface cylindrique engendrée par le coté AA' est la surface latérale du cylindre; les cercles décrits par les côtés

l4û GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE.

OA et O' A' en sont les bases , et la droite 00' en est la hauteur.

739. En construisant un prisme droit, de même hauteur que le cylindre, étayant pour base un polygone inscrit ou circonscrit au cercle de base du cylindre, on obtient un prisme inscrit ou circonscrit au cylindre [fip- 4°5). Le plan de chaque face latérale du prisme circonscrit est tangent au cylindre (737). Si le polygone inscrit ou circonscrit au cercle de base est régulier, le prisme inscrit ou circonscrit au cylindre est régulier.

Considérons un cylindre de révolution et un prisme régulier inscrit. L’aire latérale du prisme s’obtient en multipliant le périmètre de sa base par sa hauteur (C09). Or, quand on fait croître indéfiniment le nombre des côtés du polygone de base, le périmètre de ce polygone tend vers une limite fixe et indépendante de la loi suivant laquelle ses côtés tendent vers zéro; d’ailleurs, la hauteur du prisme reste constamment égale à la hauteur du cylindre. Donc l’aire latérale du prisme inscrit tend vers une limite fixe indépendante de la loi suivant laquelle les côtés de sa base tendent vers zéro : c’est cette limite (pie l’on appelle l’aire latérale du cylindre.

Considérons en second lieu un cylindre de révolution et deux prismes réguliers de bases semblables, l’un inscrit, l’autre circonscrit au cylindre (/7g-. 4o5). Le volume du cylindre est compris entre les volumes des deux prismes. Or, ces deux prismes ont même hauteur, et le rapport des aires de leurs bases a pour limite l’unité (447), lorsque le nombre commun de leurs côtés croît indéfiniment; par suite, le rapport des volumes des deux prismes tend vers l’unité, et il en est de même a fortiori du rapport du volume du cylindre au volume de l’un quelconque de ces prismes. Donc le volume d’un cylindre de révolution est la limite commune des volumes des prismes réguliers de bases semblables , inscrit et circonscrit, dont on fait croître indéfiniment le nombre des faces.

Il importe de remarquer que ce dernier énoncé est un véritable théorème, tandis que l’énoncé de l’alinéa précédent relatif à l’aire n’est qu’une définition .

740. Deux cylindres de révolution sont dits semblables, lorsqu’ils sont engendrés par des rectangles semblables, c’està-dire lorsque leurs hauteurs sont entre elles comme les rayons de leurs bases.