LIVRE VII

LES CORPS RONDS

d’entre elles FSA. On obtiendra ainsi un secteur polygonal régulier S^B^D^FjAj ( fig. 4 1 4 ) > ayant pour rayon l’arête de la pyramide

Fig. /,i3. Fig. 4 1 4 .

régulière, c’est-à-dire l’apothème du cône, et pour base une ligne brisée régulière A^C, D,E, F,A2 égale au périmètre de la base de la pyramide.

Si le nombre des faces de la pyramide régulière inscrite dans le cône croît indéfiniment, le secteur S, A, B, C, Dt E, F, A2 conser\e le même rayon, et la base dégénère en un arc de cercle ayant une longueur égale à celle de la circonférence du cône. Le secteur circulaire S,A,D,A2 obtenu est dit le développai ent de l’aire latérale du cône. Il est aisé de calculer le nombre n de degrés contenus dans l’angle A, S, A2 de ce secteur circulaire. A étant l’apothème du cône et R le rayon de sa base, on a

n arc A, A2 __ 2 77 R 36o 2 7r.S,A, 2 7^A,

Four A — 2R, on a n = 180°, de sorte que le développement est un demi cercle. Le cône correspondant est dit équilatéral ; sa section par un plan passant par l’axe SO est un triangle équilatéral SAD.

THÉORÈME

759. L'aire latérale d'un tronc de cône de révolution à bases parallèles a pour mesure le produit de la demi somme des circonférences de ses bases par son apothème.

L’aire latérale du tronc de cône AI) D'A' [fig. 4>5) est la différence des aires latérales des cônesSAI), SA'D'. Cela posé, in-

GÉOMÉTRIE DANS l’eSPACE.

scrivons dans le cône SAI) une pyramide régulière SABCDEF; le plan A'D' de la base supérieure du tronc de cône décompose celte pyramide en deux parties qui sont, l’une, SA'B'C'D'E'F', une pyramide régulière inscrite dans le cône SA'D', l’autre, ABC DEF A' B'C'D'E' F', un tronc de pyramide régulier inscrit dans le tronc de cône AD D'A'. Or les aires latérales des cônes SAD, SA'D' étant les limites des aires latérales des pyramides SABCDEF, SA'B'C'D'E'F', lorsque le nombre commun de leurs faces croît indéfiniment, Faire latérale du tronc de cône sera égale à la limite de Faire latérale du tronc de pyramide régulier inscrit. Soient s , a, p, p' Faire latérale, l’apothème, et les périmètres des bases du tronc de pyramide; soient de même S, A, C, C' Faire latérale, l’apothème et les circonférences des bases du tronc de cône; on aura (641)

Mais, à la limite, lorsque les côtés du polygone ABCDEF tendent vers zéro, s tend vers S, p vers C, p' vers C', a vers À, et Fon a

I ifj. 41 5. Fig. 4 16.

Corollaire.

760. Si R et PF sont les rayons des bases du tronc, on a C — 2 77 R, C' = 2 77 R', et par suite