LIVRE VII

LES COUPS RONDS

ibC)

: déterminer un petit cercle (116, 492), tandis que deux points \ suffisent pour déterminer un grand cercle, attendu que le centre est connu; toutefois, dans ce dernier cas, les deux points donnés ne doivent pas être en ligne droite avec le centre de la sphère, sans quoi le plan du grand cercle, assujetti seulement à passer par un diamètre, pourrait occuper ; une infinité de positions (492).

7 75. Tout grand cercle divise la surface sphérique et la sphère en deux parties égales. Car si, après avoir séparé les deux parties, on les applique sur la base commune en tournant leur convexité dans le même sens, les deux surfaces coïncideront, sans quoi tous les points de la surface sphérique ne seraient pas à la même distance du centre.

776. Deux grands cercles APBP', ABC {fi g* 422) se divisent mutuellement en deux parties égales; car le centre O de la sphère, appartenant à la fois aux plans de ces deux cercles, est situé sur leur intersection commune, qui est alors un diamètre.

777. Une droite ne peut couper la surface sphérique en plus de deux points. Car cette droite ne peut avoir plus de deux points communs avec la circonférence de grand cercle, située dans le plan déterminé par celte droite et le centre de la sphère.

778. La sphère est de révolution autour d'un diamètre quelconque AB. Car la circonférence ACB déterminée par un plan quelconque passant par AB, ayant même centre O et même rayon OA que la sphère, engendrera évidemment cette surface en tournant autour de AB (ftg. 422).

l6o GÉOMÉTRIE DANS L'ESPACE.

779. On nomme pôles d’un cercle de la sphère les extré- r mités du diamètre de la sphère qui est perpendiculaire au plan du cercle.

Deux cercles DFE, ACB [fg* 49'3)> dont les plans sont parallèles, ont les mêmes pôles P et P'.

Le centre I d’un cercle quelconque DE, ses pôles P et P', et le centre O de la sphère sont sur une même perpendiculaire au plan de ce cercle.

Tout grand cercle PFCP' passant par les pôles P et P' d’un cercle DFE a son plan perpendiculaire au plan de ce cercle, puisqu’il contient la droite PP' qui est perpendiculaire à ce dernier plan.

THÉORÈME

780. Tous les points de la circonférence d’un cercle DFE de la sphère sont à égale distance de chacun des pôles P et P' de ce cercle.

Fig. /|23.

En effet, la droite PI, qui joint le pôle P au centre I du cercle DFE, étant perpendiculaire au plan DFE, les droites PD, PF, PE, ... sont des obliques qui s’écartent également du pied I de la perpendiculaire et qui, par suite, sont égales.

On voit encore que les arcs de grand cercle PD, PF, PE, .... sont égaux comme sous-tendus par des cordes égales.

Enfin, dans le cas où le cercle considéré DFE devient un grand cercle ACB, la même propriété subsiste; mais les angles droits POA, POC, POB, ... ayant leurs sommets au centre des grands cercles PAP', PCP', PBP', ..., les arcs PA, PC, PB, ... sont tous égaux au quart d’une circonférence de grand cercle.

Scolie.

781. Des deux pôles P et P' d’un petit cercle DFE, nous ne considérerons désormais, à moins d’avertissement contraire.