LIVRE VÎT

LES CORPS ROXDS.

fut égal à une demi-circonférence ; dès lors, le grand cercle auquel appartient le côté AE passerait par le point I (776), et le polygone ne serait pas tout entier dans l’un des deux hémisphères déterminés par ce grand cercle AE.

Un polygone sphérique convexe ne peut être rencontré en plus de deux points par un arc de grand cercle (26).

800. Le polygone sphérique le plus simple est le triangle sphérique ; c’est la portion ABC de la surface de la sphère comprise entre trois arcs de grand cercle AB, BC, CA, qui sont chacun moindres quune demi-circonférence. D’après cela, un triangle sphérique est toujours convexe [fi g. 43i).

On pourrait admettre des côtés qui surpasseraient la demicirconférence, et appeler encore triangle sphérique la figure formée par des arcs tels que AB, AC, BDC, dont le dernier est supérieur à une demi-circonférence. Mais d’abord cela serait incommode, parce que ces nouvelles figures présenteraient des angles, tels que A, qui surpasse deux angles droits ; et ensuite cela est inutile, car la connaissance des éléments du triangle sphérique proprement dit ABC entraîne celle de tous les éléments de la figure formée par les arcs AB, AC, BDC.

Un triangle sphérique est isocèle , équilatéral , rectangle , dans les mêmes circonstances qu’un triangle rectiligne.

801. En joignant les sommets d’un triangle sphérique ABC [fi g» 432) au centre O de la sphère, on forme un angle trièdre OABC, dont les faces AOB, BOC,... ont la même mesure (127) que les côtés correspondants AB, BC, ... du triangle sphérique, et dont les angles dièdres OA, UB,... ont la même mesure (794) que les angles A, B,. . . de ce triangle. La même

GÉOMÉTRIE 1) A N S L’ESPACE

remarque s’étend à un polygone sphérique ABCI) [fig> 433) et à l’angle polyèdre correspondant OÀBCD.

D’après cela, à chaque propriété des angles Irièdres ou polyèdres répond une propriété analogue des triangles ou polygones sphériques ; et, pour énoncer cette propriété, il suffit de remplacer respectivement les mois face et angle dièdre par les mots côté et angle.

C’est môme cette marche que Ton suit pour établir les premières propriétés des figures sphériques. Mais plus tard, et pour des propriétés moins simples, il est ordinairement préférable de faire l’inverse, c’est-à-dire d’établir directement. les propriétés des figures sphériques pour en déduire les propriétés des angles polyèdres correspondants. On raisonne en effet sur une surface, et en particulier sur la sphère, presque aussi aisément que sur un plan, tandis qu’il faut un certain effort pour se représenter une figure de l’espace un peu compliquée. L’étude de l’Astronomie ne laisse à cet égard aucun doute, et la conception de la sphère céleste est un des plus heureux artifices géométriques qu’on ait imaginés.

802. Si l’on prolonge les arêtes de l’angle polyèdre OABCD [fi g. 433) au delà du sommet O, on forme un angle polyèdre symétrique OA'B'C'D', qui détermine sur la surface de la sphère un polygone A'B'C'D'. Les deux polygones ABCI), A'B'C'D', dont les sommets sont ainsi diamétralement opposés deux à deux, sont appelés polygones sphériques symétriques. Les considérations développées au n° 568 conduisent aux propriétés suivantes :

i° Deux polygones symétriques ont leurs angles et leurs côtés égaux deux à deux ; 20 ces polygones 11e sont pas en gé~