AB < AD H- BD

et, en remplaçant le côté BD par son égal DC,

AB < AI) -f- DC ou AB < AC.

GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

En rapprochant ce théorème de celui qui a été démontré au n° 802 (3°), on voit que : réciproquement, si un triangle sphérique est isocèle, les angles opposés aux côtés égaux sont égaux, et si un triangle sphérique a deux côtés inégaux, au plus grand cô)té est opposé le plus grand angle .

805. De ce qu’un triangle sphérique isocèle est superposable à son symétrique, il résulte que, dans tout triangle sphérique isocèle , l'arc de grand cercle qui joint le sommet au milieu de la base est perpendiculaire sur cette base et divise l'angle au sommet en deux parties égales.

806. Enfin les propriétés du triangle rectiligne, démontrées aux nos 40 et 41, s’appliquent au triangle sphérique et s’énoncent de même; il suffit de remplacer le mot droite par les mots arc de grand cercle.

THÉORÈME

807. Dans tout polygone sphérique convexe , la somme des côtés est moindre qu'une circonférence .

Car la somme des faces de l’angle polyèdre correspondant est moindre que quatre angles droits (570).

La démonstration directe est d’ailleurs facile. Considérons d’abord un triangle sphérique ABC [fig- 435), et prolongeons les côtés AB et AC jusqu’à leur rencontre A'; les deux arcs ABA',ACA' sont des demi-circonférences de grand cercle (776) et, comme dans le triangle BCA' le côté BC est moindre que BA' -i- CA', la somme AB 4- AC 4- BC des côtés du triangle ABC est inférieure à ABA' 4- ACÀ', c’est-à-dire à une circonférence de grand cercle.

En opérant d’une manière analogue sur un polygone, c’està-dire en remplaçant un côté par les prolongements des deux qui lui sont adjacents, on voit que, si la proposition est vraie pour un polygone convexe, elle subsiste pour le polygone convexe qui a un côté de plus ; donc elle est générale.