LIVRE VII

LES CORPS RONDS

THÉORÈME

808. Si un triangle sphérique A'B'C' est le triangle polaire cran triangle sphérique donné ABC, réciproquement ABC sera le triangle polaire de A'B'CC

Pour bien comprendre la définition du triangle polaire et l'objet du présent théorème, il convient de faire une remarque.

Soient EIF un grand cercle ( fig . 436), P l’un de ces pôles, et M un point quelconque de la sphère. Si P et M sont d’un meme côté du grand cercle EF, le plus petit arc de grand cercle qui va de P en M est moindre qu’un quadrant PI. Si P et M sont de part et d’autre du grand cercle EF, le plus petit arc de grand cercle allant de P en M est supérieur à un quadrant.

Cela posé, on nomme triangle polaire d’un triangle sphérique ABC un nouveau triangle A'B'C' [fig. 437) dont les sommets sont définis de la manière suivante : A' est celui des deux pôles du grand cercle BC qui est, par rapport à ce grand cercle, du même côté que le sommet opposé A; de même IV est le pôle de AC qui est situé par rapport à AC du même côté que B, et C' est le pôle de AB qui est placé par rapport à AB du même côté que C.

Il s’agit de démontrer que, réciproquement, le triangle ABC est le triangle polaire de A'BC'. A cet effet, considérons l’un quelconque de ses sommets, C par exemple; A' étant le pôle de BC, l’arc de grand cercle qui joindrait C et A' est un quadrant; de même l’arc de grand cercle CB' est un quadrant, puisque B' est le pôle de AC. Donc, le point C (780) est le

GÉOMÉTRIE DANS l/ESPACE.

pôiedeA'B'. De plus, puisque (7 est le pôle de AB qui se trouve par rapport à AB du même côté que G, le plus petit arc du grand cercle allant de G en G' est moindre qu’un quadrant ; par suite, C est le pôle de A' B' qui se trouve par rapport à A' B' du même côté que G'.

SCOLIE

809. D’après cela, le triangle polaire A;B' G' d’un triangle donné ABC peut être considéré comme obtenu en décrivant des sommets A, B, C, pris successivement pour pôles, trois circonférences de grand cercle. Ges trois circonférences divisent la surface de la sphère [fig. 437) en huit triangles, dont l’un A'B'C' est le triangle polaire de ABC. C’est celui qui est tel, que les sommets A et A' soient d’un même côté par rapport à BG, les sommets B et B' d’un même côté par rapport à AC, et les sommets G et G' d’un même côté par rapport à AB.

Les deux trièdres OABC, OA' B’ G', qui répondent à deux triangles polaires ABC, A'B'C', sont supplémentaires (572). En effet, d’après la construction du point G', on voit que l’arête OC', par exemple, est perpendiculaire (779) au plan AOB et située par rapport à ce plan du même côté que OG : on raisonnerait de même pour les autres arêtes OB' et OA'. Chaque angle de l’un des triangles ABC, A'B'C', doit donc (573) être le supplément du côté opposé de l’autre triangle. Mais cette propriété, en vertu de laquelle deux triangles polaires sont aussi appelés triangles supplémentaires, mérite d’être démontrée directement; c’est là l’objet du théorème qui suit.

THÉORÈME

810. Si ABC, A'B'C' sont deux triangles polaires, chaque angle de l’un de ces triangles a pour mesure une demi-circonférence de grand cercle , moins le côté opposé dans Vautre triangle ( fig . 438).

En effet, considérons, par exemple, l’angle A et prolongeons, s’il le faut, les côtés AB et AG jusqu’à la rencontre de l’arc B'C'; puisque A est le pôle de B' G', l’angle A a pour mesure l’arc DE (795); mais on a évidemment