LIVRE Vil

LES CORPS RONDS

D’ailleurs B'E et DG' sont des quadrants, puisque B' est le pôle de AG et G' le pôle de AB; on a donc

DE — ~ cire, de grand cercle — B' CG

On procéderait de la même manière pour les angles B et G.

Les triangles ABC et A' B' G' résultant l’un de l’autre par la même construction (808), la propriété que nous venons de démontrer pour les angles A, B, G du premier triangle convient aux angles A', B', C' du second. On prouverait d’ailleurs directement que l’angle A', par exemple, a pour mesure le supplément de BC, en prolongeant BG jusqu’à la rencontre de A' B' et de A' CG

SCOLŒ.

811. Les propriétés des triangles polaires s’étendent aux polygones et aux courbes sphériques.

Soit [Jig. 439) un polygone sphérique convexe ÀBCDE; prenons, des deux pôles de l’arc de grand cercle EA, celui A' qui, par rapport à EA, est dans le même hémisphère que le polygone ABCDE; prenons d’une manière analogue les pôles B', G', D', E' des eôtts AB, BC, CD, DE. Le polygone A'B'C'D'E' sera le polygone polaire du proposé, et l’on démontrera, comme aux nos 808 et 810 : i° que, si un polygone sphérique A'B'C'D'E' est le polygone polaire cl'un polygone donné ABCDE, réciproquement ABCDE est le polygone polaire de A'B'C'D'E' ; 20 que, dans deux polygones polaires , tout angle de l'un est le supplément du côté de l'autre dont le sommet de l'angle considéré est le pôle.

812. On appelle arc de grand cercle tangent en un point M d'une courbe sphérique AMN [Jîg> 44°) la limite des positions que prend le

GÉOMÉTRIE DANS l’eSTACE.

grand cercle mené par le point M et un point voisin N, lorsque ce second point N de la courbe tend vers le premier. Une courbe sphérique est convexe si le grand cercle tangent en l’un quelconque de ses points laisse la courbe tout entière dans un seul hémisphère (799). Une courbe sphérique convexe ne saurait être rencontrée par un grand cercle en plus de deux points; et, des deux arcs de grand cercle qui joignent deux points quelconques de la courbe, le plus petit, c’est-à-dire celui qui est moindre qu’une demi-circonférence, est à X intérieur de la courbe.

Cela posé, soit A'M' [fig. 44°) une courbe sphérique convexe; en un point quelconque M' de cette courbe, menons le grand cercle tangent et prenons le pôle M de ce cercle qui est dans le même hémisphère que la courbe A'M'; le lieu des points M est la courbe polaire AM de A'M'. Inversement, la courbe A'M' est la courbe polaire de AM; en d’autres termes, le point M' est le pôle de l’arc de grand cercle tangent en M à la courbe AM; car si N est le pôle de l’arc, de grand cercle N' T' tangent à la courbe A'M' en un point N' voisin de M', le point T' sera le pôle (780) de l’arc sécant MN, et, quand ce dernier arc deviendra tangent en M, le point T' se confondra avec M'. Ainsi les points M et M' des deux courbes se correspondent deux à deux, de telle sorte que le point M soit le pôle de l’arc de grand cercle tangent en M' et que le point M' soit le pôle de l’arc de grand cercle tangent en M.

Deux figures sphériques polaires sont des figures corrélatives : à tout point de l’une répond un arc de grand cercle dans l’autre, de telle sorte que, si trois points de la première sont sur un même grand cercle, les trois arcs de grand cercle correspondants de la seconde passent par un même point, pôle de ce grand cercle. Tout théorème en engendre immédiatement un autre; et c’est même cette corrélation des figures sphériques qui a suggéré l’idée du principe général de dualité.

Corollaires.

813. Dans tout triangle sphérique : i° la somme des angles est comprise entre deux et six angles droits ; 20 le plus petit angle augmenté de deux droits surpasse la somme des deux autres angles.

La démonstration est la même que pour les angles irièdres (575), et les propriétés énoncées peuvent être elles-mêmes considérées comme une conséquence des propriétés correspondantes des trièdres.

Il résulte de là qu’un triangle sphérique peut avoir un, deux ou trois angles' droits. Quand le triangle est bireclangle , le sommet de l’angle qui n’est pas droit est le pôle du côté