LIVRE VII

LES CORPS RONDS

opposé, et les côtés qui comprennent cet angle sont des quadrants. Dans le triangle sphérique trirectangle, tous les côtés sont des quadrants; le triangle trirectangle est le huitième de la sphère sur laquelle il est tracé : on le voit immédiatement en prolongeant les arcs de grand cercle qui forment les côtés du triangle.

THÉORÈME

814. Deux triangles sphériques tracés sur la même sphère ou sur des sphères égales sont égaux dans toutes leurs parties : i° lorsqu'ils ont un côté égal adjacent à deux angles égaux chacun à chacun ; 2° lorsqu'ils ont un angle égal compris entre deux côtés égaux chacun à chacun; 3° lorsqu'ils ont les côtés égaux chacun à chacun; 4° lorsqu’ils ont les angles égaux chacun à chacun. — Dans tous les cas, ils sont égaux ou symétriques , suivant que la disposition des éléments donnés est la même ou est inverse.

Ce théorème est une conséquence des propriétés analogues (577, 578) des angles trièdres. On peut aussi le démontrer directement.

Supposons d’abord que la disposition des éléments soit la même dans les deux triangles, on démontrera l’égalité pour les trois premiers cas en raisonnant comme au n° 32 de la Géométrie plane. Quant au quatrième cas, il résulte du troisième par la considération du triangle polaire (810). Remarquons, en outre, que les deux premiers cassontaussi corrélatifs l’un de l’autre.

Si la disposition des éléments donnés est inverse, le premier triangle et le symétrique du second présenteront la même disposition : ils seront donc égaux en vertu des données; par suite, les triangles proposés seront symétriques.

ScOLIE.

815. Un trièdre, dont le sommet est placé au centre de deux sphères concentriques, détermine évidemment sur ces sphères deux triangles sphériques dont les angles sont respectivement égaux et les côtés proportionnels (29G). Deux triangles sphériques de celte nature sont dits semblables.

R. et de C. — Tr. de Géom. ( H° Partie).

GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

THÉORÈME

816. Le plus court chemin d'un point à un autre sur la surface de la sphère est l'arc de grand cercle , moindre qu'une demi-circonférence , qui joint ces deux points.

i° Il faut, avant tout, définir la longueur d’un arc de courbe gauche , c’est-à-dire dont tous les points ne sont pas situés dans un même plan. Cette longueur se définit comme celle d’un arc de courbe plane- C'est la limite du périmètre d'une ligne brisée qui est inscrite dans cet arc et dont les côtés tendent vers zéro.

Nous allons prouver que cette limite existe et qu’elle est unique, c’est-àdire indépendante de la loi suivant laquelle on fait tendre vers zéro les divers côtés de la ligne brisée.

Soient (fg. 440 AB un arc de courbe gauche, ah sa projection orthogonale sur un plan quelconque P, M un point quelconque de AB et m la projection de ce point. Dans un plan pris à volonté, menons une droite indéfinie xxyx [fg. 44^) et prenons sur cettedroite, à partir d’un points,, une longueur axmi égale à la longueur de l’arc am ; puis, au point mv élevons sur xxyx la perpendiculaire w,M, égale à la projetante M/h. A tout point M de la courbe AB répondra ainsi un point M, et, lorsque le point M décrira l’arc AB, le point M, décrira un arc de courbe plane A,Bn dont nous désignerons la longueur par l.

Fig. 442.

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Fig. 44 1-

Cela posé, soient AMNRB une ligne brisée quelconque inscrite dans l’arc AB et amnrb , At M, N( R, B, les lignes brisées correspondantes inscrites dans la projection ctb et dans la ligne plane A, B,. La valeur du rapport

AM -+- MN -+- NR -h RB A, M, -i- M,N, -t- N, R, -+- R, B,