AM MN NB BB
A, INI, ’ M,N,’ N.û;’ B, 13, °
Par suite, si l’on peut prouver que chacun de ces rapports a l’unité pour limite, il en sera de même du rapport (i) ; et, comme le dénominateur de ce rapport a pour limite la quantité bien définie /, quelle que soit la loi suivant laquelle les côtés de la ligne brisée AMNRB tendent vers zéro (291), son numérateur aura aussi / pour limite, quelle que soit cette loi.
Prenons donc l’un quelconque des rapports (2),
MN
par
exemple.
Désignons par § la différence N/z — M/h, ou son égale N,//, — M,//q. Le carré du rapport considéré aura pour expression
mn H - P
La valeur de ce carré est donc comprise entre
mn
et ^ ou i.
Mais, mi /?, étant la longueur de l’arc de courbe plane dont//?/? est la corde,
le rapport-7^- a l’unité pour limite (292) quand m j n t tend vers zéro.
. . . MN . , , , v
La limite der^r est donc égalé a 1.
20 La longueur d’un arc de courbe sphérique est égale à la limite du périmètre d’une ligne brisée sphérique qui est inscrite dans cet arc et dont les côtés tendent vers zéro .
En effet, soient ÀGI3 ( fi g. 443 ) un arc de courbe quelconque
Fig. 443.
tracé sur la sphère, et ÀEFGII3 une ligne brisée sphérique inscrite dans cet arc, c’est-à-dire une ligne formée de portions d’arcs de grands cercles, ayant ses extrémités en A et en B et ses sommets intermédiaires situés sur l’arc de courbe AGB.
GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE
Si les arcs de grands cercles, dont la longueur de la ligne brisée sphérique est la somme, tendent séparément vers zéro, suivant une loi d’ailleurs quelconque, le rapport de chacun de ces arcs à sa corde aura l’unité pour limite. Il en sera donc de même du rapport de la longueur de la ligne brisée à la somme des cordes. Et, comme (i°) ia somme des cordes a pour limite la longueur de l’arc de courbe AGE, on voit que la longueur de la ligne brisée sphérique inscrite dans l’arc de courbe quelconque AGE a aussi pour limite la longueur de cet arc.
3° Il est maintenant très-facile de trouver le plus court chemin entre deux points A et B sur la surface de la sphère
{fig- 443)-
Soient AME l’arc de grand cercle, moindre qu’une demicirconférence , qui unit les points A et B , et AGE une courbe sphérique quelconque tracée entre ces deux points. AEFG1E étant une portion de polygone sphérique inscrite dans cette courbe, on aura (803)
