LIVRE VII

LES CORPS RONDS

droites OM et PP' qui sont à angle droit sur MT. Donc, si l’angle SMT est droit, MS est dans le plan MPP' qui, par suite, coïncide avec le plan OMS. Inversement, si les plans OMS, MPP' coïncident, la droite MS contenue dans le plan MPP' est à angle droit sur la perpendiculaire MT à ce plan.

Corollaires.

818. Par an point O de la sphère , on peut mener an grand cercle perpendiculaire à an cercle donné AB et Von ne peut en mener qu'un: c’est le grand cercle OPI'PT qui passe par le point O et par les pôles P et P' du cercle AB [Jîg. 444).

Il y aurait toutefois indétermination si le point O coïncidait avec l’un des pôles P et P'.

En laissant de côté ce cas singulier, on voit que, du point O, on peut mener deux arcs de grand cercle, 01 et OP1', normaux à un cercle donné AB.

THÉORÈME

819. Si, d’un point 0 d'une sphère, on mène, sur un cercle AB, le plus petit , 01, des deux arcs de grand cercle normaux et plusieurs arcs de grand cercle obliques OC, OD, OE ( fig . 444) »

Fig. 444.

iv L'arc perpendiculaire 01 est moindre que tout arc oblique OC;

2° Deux arcs obliques, OC et OE, dont les pieds C et E sont équidistants du pied I de l’arc normal, sont égaux ;

3° De deux arcs obliques, OC et OD, ou OE et OD, celui dont le pied s’écarte le plus du pied I de l'arc normal est le plus long.

En effet, le cercle AB divise la sphère en deux calottes dont l’une contient le point 0; soit P le pôle de AB qui est situé dans cette calotte: menons les arcs de grand cercle PC, PD, et désignons par K l’intersection des arcs OD et PC.

i° Dans le triangle sphérique POC, on a