PC - PO < OC

1 S?, GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

c'est-à-diro

PI -PO ou OI<OC.

i° Les points C et E étant symétriques par rapport au plan du grand cercle PIP', les cordes OC et OE sont symétriques par rapport au même plan et, par suite, égales entre elles; donc les arcs de môme rayon, OC et OE, qu’elles sous-tendent, sont égaux.

3° Les triangles sphériques OKC, PIvD donnent

OC < OK + KG, PD < PK KD,

d’où, en ajoutant,

OC -h PD < OD h- PC et, enfin, à cause de PD = PC,

Corollaires.

820. Si le point C décrit le cercle AB en partant du point I, l’arc de grand cercle OC, d’abord égal à 01, croît, devient égal à OPI', puis décroît jusqu’à la valeur primitive 01. Parmi les chemins qui conduisent du point 0 au cercle AB, le plus court est donc le plus petit, 01, des deux arcs normaux qu’on peut mener du point 0 au cercle AB. Aussi, donnet-on à la longueur de cet arc 01 le nom de distance sphérique du point 0 au cercle AB.

Les réciproques des propositions précédentes sont vraies (7)„

Le lieu géométrique des points de la sphère équidistants de deux points de cette surface est le grand cercle perpendiculaire sur le milieu de l'air (le grand, cercle qui unit les deux points (49).

Deux triangles sphériques rectangles sont égaux ou symétriques : i° lorsqu'ils ont l'hypoténuse égale et un angle oblique égal ; 2° lorsqu'ils ont l'hypoténuse égale et un côté égal (50).

L'arc de grand cercle bissecteur de l'angle de deux grands cercles est le lieu des points de la sphère équidistants des deux côtés de cet angle (53).

Les raisonnements sont les mêmes qu’en Géométrie plane.

Fig. 445.