LIVRE VII
LES CORPS RONDS
rieurs à un quadrant est pair. En effet, soient [fig. 445 ) trois grands cercles APB, AIB, PIP', perpendiculaires deux à deux; sur AP, prenons un arc AC moindre qu’un quadrant et joignons par un arc de grand cercle CD le point C à un point quelconque D de AIB. Dans le triangle rectangle CAD, le côté AC est aigu, et l’on voit que tant que AD reste aigu, c’est-à-dire moindre que le quadrant AI, CD reste inférieur à CI, c’est-àdire à un quadrant; si AD devient obtus comme AD,, l’arc CD, est supérieur à CI, c’est-à-dire à un quadrant. Le triangle ACD a donc ses trois côtés aigus, ou un aigu et deux obtus. On prouverait pareillement que le triangle rectangle CDB, dont le côté BPC est obtus, possède toujours deux côtés obtus et un aigu, car, BD étant obtus, CD est aigu, et, BD, étant aigu, CD, est obtus.
i° Dans tout triangle sphérique rectangle , tout angle oblique est de meme espèce que le côté opposé. En effet, l’angle ACI étant droit, l’angle ACD est aigu et l’angle ACD, est obtus; or AD est aigu et AD, est obtus.
THÉORÈME
822. L’arc de grand cercle , tangent à un petit cercle , est perpendiculaire à l’extrémité du rayon sphérique qui aboutit au point de contact.
Car le rayon sphérique, étant un grand cercle passant par le pôle du petit cercle, est perpendiculaire (817) à ce petit cercle et, par suite, au grand cercle tangent.
SCOLIE
823. Les propositions suivantes se démontrent comme en Géométrie plane.
Lorsque deux petits cercles d’une sphère se coupent , l’arc de grand cercle qui passe par leurs pôles est perpendiculaire sur le milieu de l’arc de grand cercle qui passe par leurs deux points d'intersection.
Lorsque deux petits cercles d'une sphère SGnt tangents , leur point de contact est situé sur le grand cercle qui passe par leurs pôles , et l’arc de grand cercle mené par le point de contact à angle droit sur celui qui unit les pôles est tangent à chacun des deux petits cercles.
On dit qu’un point de la sphère est intérieur ou extérieur à un petit cercle , suivant qu’il est situé dans la plus petite ou dans la plus grande des deux calottes que ce cercle détermine sur la sphère. Sa distance sphérique (816) au pôle du petit cercle est, dans le premier cas, inférieure et, dans le second, supérieure au rayon sphérique (781 ) de ce cercle.
Étant donnés deux petits cercles d’une sphère, on dit : i° que les deux cercles sont extérieurs, lorsque tout point de chacun d’eux est extérieur à l’autre; i° que le premier est intérieur au second, lorsque tout point
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du premier est intérieur au second, et alors tout point du second est extérieur au premier.
Cela posé, soient R et ries rayons sphériques de deux petits cercles, et D la distance sphérique de leurs pôles. Le quart d’un grand cercle étant pris pour unité, R et r sont moindres que i et D est inférieur à 2. Si les cercles sont extérieurs, on a D > R -h r ; si les cercles sont tangents extérieurement, on a D — R *+- r ; si les cercles se coupent, on a à la fois R + r>D>R — r; si le cercle r touche intérieurement le cercle R, on a D = R — r; enfin, si le cercle r est intérieur au cercle R, on a D < R — r. Les réciproques sont vraies.
THÉORÈME
824. Le lieu des sommets des triangles sphériques, qui ont une base commune DE et dans lesquels la différence entre V angle au sommet et la somme des angles à la base est constante en valeur absolue , se compose de deux petits cercles passant par les points D et lé et symétriques par rapport au plan DEA du grand cercle DE.
En effet, C étant un point pris arbitrairement sur la sphère et P étant le pôle du cercle circonscrit au triangle sphérique CDE, désignons respectivement par 7, â, e les valeurs des angles à la base dans les triangles isocèles PCD, PDE, PEC. Si le pôle P est à l’intérieur du triangle DEC (comme dans la f/g, 446), on a
&x P est extérieur au triangle DEC, mais situé du même côté que C par rapport au grand cercle DE, on a
D -h E — C — H~ 7 ) -4~ ( 3 — £ ) — (7 — £ ) ~ 2 C? , ou
D ■+■ E — C — ( $ — 7) •+■ (e? h- s ) — \ £ — 7) = 26' ; enfin, si P et C sont de part et d'autre du grand cercle DE, on a D + E — C = (7 — 3) ( £ — â ) — ( 7 4- £ ) = — 2d\
Il résulte de là que, si le point C se déplace de façon que la différence (D h- E) — C reste constante en valeur absolue, l’angle 8 et, par suite, le triangle isocèle DPE restent invariables de grandeur; en sorte que le point P ne peut avoir que deux positions, qui sont symétriques par rapport au plan DEA. Le lieu du sommet C se compose donc du cercle décrit du point P comme pôle avec PD pour rayon et du cercle symétrique par rapport au plan DEA.
Lorsque la différence (D -f- E) — C est donnée à la fois en grandeur et en signe, il faut prendre seulement sur chacun de ces deux cercles l’arc qui est situé par rapport au plan DEA du même côté que son pôle si la différence est positive, et au contraire l’autre arc si la différence est négative.
LIVKE VII.
LES CORPS RONDS
Quand la différence (D -+- E) — C est nulle, iï est aussi nul; les deux points P coïncident avec le milieu de DE, et le lieu est le cercle décrit sur DE comme diamètre dans un plan perpendiculaire au plan DEA.
Ce théorème est l’analogue de celui du n° 134 de la Géométrie plane. En effet, lorsque, dans un triangle rectiligne CDE, on donne l’angle C, on donne par cela même la différence D -+- E — C.
PROBLÈME
825. Tracer sur la sphère un grand cercle passant par deux points donnés A et B {fi g. 44 7 )•
L’inconnue de la question est le pôle du cercle demandé. Or la distance de ce pôle P à chacun des points A et B est égale à la corde du quadrant (780); on l’obtiendra donc en décrivant successivement deux arcs de cercles, des points A et B comme pôles, avec une distance polaire égale à la corde du quadrant.
Fig. 446. Fig. 447. Fig. 448.
826. Mener par un point donné A sur la sphère un arc de grand cercle perpendiculaire à un grand cercle donné BP
(fis- 448).
L’inconnue de la question est le pôle du cercle demandé. Or ce pôle P doit se trouver sur le cercle BP (797), et être à une distance du point A égale à la corde du quadrant. On l’obtiendra donc en décrivant, du point A comme pôle, avec une distance polaire égale à la corde du quadrant, un arc de cercle qui rencontre en P le cercle donné BP.
PROBLÈME
827. Mener un arc de grand cercle perpendiculaire sur un arc de grand cercle donné AB, en son milieu ; ou, diviser un arc de grand cercle AB en deux parties égales {fi g. 449 )•
Il suffit de décrire des points A et B comme pôles, avec la mêmeouver-
GÉOMÉTRIE DANS ^ESPACE
ture de compas, deux arcs qui se coupent en C et D ; puis, de faire passer un grand cercle par G et D.
Remarquons que ce grand cercle CD divise aussi en deux parties égales tous les arcs de petit cercle dont les extrémités sont A et B.
PROBLÈME
828. Trouver le pôle d’un petit cercle passant par trois points donnés A, B, C, surin sphère ( fi g . 45o ).
Ce pôle P, étant équidistant de A, B, C, est à l’intersection des arcs de grand cercle élevés perpendiculairement sur les milieux des arcs de grand cercle AB et RG (827).
Le pôle P une fois connu, on tracera le petit cercle avec une ouverture de compas égale à PA.
PROBLÈME
829. Par un point A donné sur la sphère , mener un grand cercle faisant un angle donné avec un grand cercle donné DED' [fig. 45 1).
Fig. 45 i.
Soit P celui des deux pôles du grand cercle donné qui se trouve dans (e même hémisphère que le point A, et soit a l’arc de grand cercle qui mesure l’angle donné, lequel peut toujours être supposé aigu.
Le pôle Q du cercle inconnu doit se trouver sur le grand cercle EE' dont A est le pôle, puisque le grand cercle demandé passe par A. Le pôleQ
