LIVRE VII

LES CORPS RONDS

doit aussi appartenir au petit cercle décrit du point P comme pôle avec un rayon sphérique égal à a, puisque ce petit cercle est le lieu des pôles des grands cercles qui coupent, sous l’angle donné, le grand cercleDED' (79G).

On décrira donc deux cercles, l’un du point A comme pôle avec une ouverture de compas égale à la corde du quadrant, l’autre du point P comme pôle avec une ouverture de compas égale à la corde de l’arc a. Tout point commun Q à ces deux cercles sera le pôle d’un grand cercle : satisfaisant à la question proposée.

Pour que le problème soit possible, c’est-à-dire pour que les cercles auxifaires se coupent, il faut et il suffit, puisque l’angle donné est aigu, que l’on ait

PQ > PI ou a i> d,

en désignant par S la distance sphérique AD du point donné A au grand cercle donné DED'.

Lorsque le point A est sur le grand cercle donné DED', le grand cercle EE' passe par P, et il suffit, pour avoir le point Q, de porter sur le grand cercle EPE', à partir de P, une ouverture de compas égale à la corde de l’arc a.

PROBLÈME

830. Construire un triangle sphérique rectangle , connaissant : i° un côté de V angle droit et V hypoténuse ; i° un angle et le côté opposé.

i° Après avoir tracé [Jig. 4^2) deux grands cercles perpendiculaires l’un à l’autre, c’est-à-dire deux grands cercles DAD', EAE', tels que le

Fig. 452.

pôle de l’un soit sur l'autre, on portera sur I’un d’eux DD', à partir du point commun A, un arc AG égal au côté donné 6; puis, du point C comme pôle, avec un rayon sphérique égal à l’hypoténuse donnée <7, on décrira un cercle BB' qui coupera le grand cercle EE' en deux points symétriques par rapport à DCD' ; en menant les arcs de grands cercles CB, CB', on aura

I 88 GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

deux triangles sphériques symétriques BAC, B' AC, qui répondent à la question proposée.

Pour que le problème soit possible, il faut et il suffit que le nombre a qui mesure l’hypoténuse soit compris entre les nombres b et 2 — b qui mesurent les distances sphériques minimum et maximum du point C au grand cercle EE'.

20 On commencera par tracer deux grands cercles BAB',RCB' (Jîg. 453)

Fig. 453.

faisant entre eux l’angle donné B; soit P le pôle du premier et EPE' le grand cercle qui est perpendiculaire à la fois sur BAB' et BCB'; le problème se réduit à mener un grand cercle, perpendiculaire à BAB', c’està-dire passant par P, et tel que la partie CA, interceptée dans le fuseau B E B' D, soit égale au côté donné b. Or PC sera égal alors à 1 — b. On décrira donc du point P, avec un rayon sphérique égal à 1 — ô, un cercle qui coupera BDB' en deux points; C étant l’un quelconque de ces points, le triangle BCA satisfera à la question, ainsi que le triangle B'CA.

La condition de possibilité consiste dans l’inégalité

PC > PD ou 1 — ô>i— B,

c’est-à-dire

Nous avons supposé l’angle B aigu ; s’il était obtus, on aurait

PC = ô — 1, PD = B — j , et la condition de possibilité serait ô> B.

PROBLÈME

831. Construire un triangle sphérique , connaissant trois quelconques de ses six éléments (angles ou côtés).

Ce problème offre six cas distincts; on peut donner : i° les trois côtés