LIVRE VII

LES CORPS RONDS

ou les trois angles; i° deux côtés et l'angle compris, ou un côté et les deux angles adjacents; 3° deux côtés et l’angle opposé à l’un d’eux, ou deux angles et le côté opposé à l’un d’eux.

Dans cefete énumération, nous avons réuni chaque fuis les deux cas corrélatifs, c’est-à-dire qui se ramènent l’un à l’autre par la considération du triangle polaire. Il n’v a donc que trois cas à traiter directement.

i° On donne les trois côtés a, b, c.

Supposons, pour fixer les idées, a > b > c.

Pour que le problème soit possible, il faut (803, 807) que l’on ait à la fois

ci b — i— c , ci H— b c 4 .

Ces conditions sont suffisantes. En effet, sur un grand cercle MM' de la sphère, prenons un arc BMC égal à a [fg> 454 ) ; du point B comme pôle, avec une ouverture de compas égale à la corde de l’arc c, décrivons un

Fi.

arc de cercle DD' et, du point C comme pôle, avec une ouverture de compas égale à la corde de l’arc 6, décrivons un second arc de cercle EE'. Puisque l’arc BC est plus grand que chacun des arcs BD et CE, les points D et E sont situés dans la portion BMC du grand cercle MM' et, comme BC est moindre que la somme BD h- CE, les arcs BD et CE empiètent l’un sur l’autre : le point E tombe donc entre B et D. D’ailleurs, la somme BD' -4- BC h- CE' étant moindre qu’une circonférence de grand cercle, le point E' est situé sur l’arc CM'D' entre C et D'. Il résulte de là que le point E et le point E' sont, le premier intérieur, le second extérieur à la calotte qui, déterminée par le cercle DD', a pour pôle B. L’arc EE', qui, par rapport à cette calotte, unit un point intérieur à un point extérieur, doit donc couper la base DD' de cette calotte en un certain point A, lequel est le troisième sommet du triangle demandé ABC.

Les cercles DD' et EE' se coupent en un second point A', sommet d'un second triangle A'BC, symétrique du premier.

GÉOMÉTRIE DANS i/ESPACE.

Ainsi, pour qu'on puisse construire un triangle sphérique arec trois côtés donnés , il faut et il suffit (pie le plus grand côté soit moindre que la somme des deux autres et (que la somme des côtés soit inférieure à une circonférence de grand cercle.

Dans les applications, il peut se faire que l’une de ces conditions soit remplie d’elle-même; il ne reste plus alors qu’à considérer l’autre. Par exemple, au n° 823, lorsqu’on cherche les conditions pour que deux petits cercles se coupent, on n’a pas à faire intervenir la relation

D -+- II h- r < 4 ,

parce que, d’après la manière dont D, Pi et r sont définis, cette relation est satisfaite d’elle-même.

Souvent, on ignore l’ordre relatif de grandeur des côtés donnés. Dans ce cas, on exprime que le plus grand côté est inférieur à la somme des deux autres, en écrivant que chaque côté est moindre que la somme des deux autres.

Pour qu’on puisse construire un triangle sphérique avec trois angles donnés, il faut et il suffit que le plus petit angle augmenté de deux droits soit plus grand que la somme des deux autres et que la somme des trois angles soit supérieure à deux angles droits, car, en prenant les suppléments de ces angles comme côtés, on peut construire le triangle supplémentaire, d’où l’on déduit ensuite le triangle demandé par le tracé indiqué au n° 809.

2,° On donne deux côtés a et b et V angle compris G.

Même solution qu’en Géométrie plane ('145).

3° On donne deux côtés a et b et V angle A opposé au côté a [fig. 455).

Construisons sur la sphère deux grands cercles formant un angle égal à A (829). Prenons, à partir du sommet, sur l’un des côtés de cet angle, un arc AC égal à b, et du point C comme pôle, avec une ouverture de compas égale à la corde de a , décrivons un arc de cercle; B étant l'intersection de ce cercle avec le second côté de l’angle, le triangle ABC sera le triangle demandé.

La discussion de ce problème exige quelque attention.

Fig. /|55.

« Achevons le fuseau A, et du point C abaissons l’arc CD perpendicu- » laire sur l’autre côté de l’angle. Dans le triangle sphérique rectangle