LIVRE VII. - LES CORPS RONDS

ACD, l’arc perpendiculaire CD sera aigu ou obtus suivant que l’angle donné A sera lui-même aigu ou obtus (821, 20). Si l’arc CD est aigu, il sera le plus court do tous les arcs qu'on pourrait mener du point C dans le fuseau aux divers points de l’arc ABA', et les arcs obliques augmenteront en s’éloignant du pied de l’arc perpendiculaire; si l’arc CD est obtus, il sera au contraire le plus grand des arcs menés du point C, et les arcs obliques augmenteront en se rapprochant du pied de la perpendiculaire (819, 820).

» Cela posé, pour que le triangle proposé soit possible, il faudra d’abord que le côté opposé a soit au moins égal à l’arc perpendiculaire , si l’angle donné A est aigu; ou plus petit, si l’angle donné A est obtus. Cette première condition de possibilité est évidemment satisfaite lorsque l’angle donné A et le côté opposé a aussi donné sont de nature différente. » Je dis maintenant que :

» A et a étant de nature différente, le problème, s’il est possible, n'a qu’une solution ;

» A et a étant de même nature, le problème, s'il est possible, a une ou deux solutions.

» En effet, soient A aigu et a obtus , par exemple. Si l’on peut tracer dans le fuseau, par le point C, une oblique CB égale au côté a , elle ne pourra se trouver évidemment que du côté de celle des obliques extrêmes b ou 1800 — b qui sera de môme nature que <7; ainsi le problème ne peut avoir qu’une solution. Cette solution existera pour «< celui des arcs b ou 1800— b de même nature; le triangle sera impossible pour a au moins égal à celui des arcs b ou 180° — b de même nature.

» Si l’on supposait A obtus et a aigu, on arriverait aux mêmes conclusions; seulement il faudrait renverser les signes, parce que l’arc perpendiculaire CD serait obtus.

» Soient A et a aigus. L’arc perpendiculaire CD étant alors aussi aigu, on voit qu’il pourra exister dans le fuseau une oblique CB' égale à a du côté de celui des arcs b ou 1800 — b qui sera aigu, et, a fortiori, qu’il en existera alors une autre CB du côté de celui des deux arcs b ou 180° — b qui sera obtus. Ainsi le problème pourra avoir deux solutions. Ces deux solutions existeront pour a <C celui des arcs b ou î8o° — b de même nature; une de ces deux solutions ne sera plus possible pour a au

moins égal à celui des ai es b ou j8o°

b de même nature. Le triangle

sera impossible pour a < l’arc perpendiculaire CD.

» Si l’on supposait A et « obtus , on arriverait aux mêmes conclusions; seulement il faudrait renverser les signes, parce que l’arc perpendiculaire CD serait obtus (1). » (*)

(*) Lentuéric, Nouvelles Annales , t. II, r° série.

GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

PROBLÈME

83-. Par un point donné, mener un arc de grand cercle tangent à un petit cercle donné (Jlg. 456).

Fig. 456.

Si le point donné est sur le cercle, il suffit d’élever par ce point un arc de grand cercle perpendiculaire au rayon sphérique correspondant (822).

Supposons, en second lieu, que le point donné A soit extérieur au petit cercle donné, c’est-à-dire soit situé dans la plus grande des deux calottes sphériques séparées par ce petit cercle. Considérons le problème comme résolu ; nommons P le pôle du petit cercle donné, B le point de contact de l’arc BA, et prolongeons le rayon sphérique PB d’une quantité BC = PB. Le point C se trouve d’abord sur un cercle décrit du point P comme pôle avec une ouverture de compas égale à la corde d’un arc de grand cercle double du rayon sphérique r du petit cercle. Il se trouve en outre sur un second cercle décrit du point A comme pôle avec une ouverture de compas égale à la corde de l’arc PA = D; car, BA étant perpendiculaire sur le milieu de PBC, le point A est équidistant de P et de G.

Le point C une fois obtenu à l’aide de ces deux cercles auxiliaires, on mènera l’arc de grand cercle PC qui coupera le petit cercle en B, et, en joignant B et A par un arc de grand cercle, on aura l'arc tangent demandé.

Pour que le problème soit possible, il faut et il suffit que le triangle APC, dont on a les trois côtés, existe, c’est-à-dire qu’on ait (831 )

La première condition est toujours remplie, et les deux autres équivalent à

elles expriment que le point A doit être situé hors de la calotte sphérique PB, et hors de la calotte symétrique.

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